8.1.3 Інтегральні критерії якості регулювання

Інтегральними критеріями якості є певні інтеграли за часом в межах від 0 до від деякої функції перехідного процесу у(t) або похибки ε(t) і обчислюються безпосередньо, або по перехідних характеристикам системи, або по коефіцієнтах передаточної функції системи. Метою використання цих критеріїв є отримання загальної оцінки швидкодії і відхилення регульованої величини від сталого значення. До інтегральних критеріїв якості пред'являються дві вимоги: а) простота обчислення інтеграла: б) нескладність виразу через коефіцієнти диференціального рівняння.

8.1.3.1 Лінійний інтегральний критерій

(8.6)

служить для оцінки якості неколивальних процесів. Геометрично цей критерій характеризує площу, увязнену між кривою перехідного процесу і віссю абсцис

(рис. 8.7, а).

Рис. 8.7 Інтегральні оцінки якості регулювання:

а – лінійна; б - модульна; в - квадратична

Він враховує як час регулювання, так і величину динамічних відхилень. Якщо невідома крива перехідного процесу, але відома передаточна функція замкнутої системи і вхідна змінна , то значення лінійного інтегрального критерію визначається з використанням теореми про кінцеве значення функції. Дійсно, формулу (8.6) можна записати інакше:

і тоді:

Лінійний інтегральний критерій якості можна обчислити і іншими методами. Наприклад, якщо дано диференціальне рівняння і початкові умови:

то, проінтегрував його, отримаємо

Для стійких систем для i= 1, 2,..., п.

Тоді

,

звідки

а за нульових початкових умовах

Існують модифікації лінійного інтегрального критерію, які застосовуються в тих випадках, коли початкова ділянка перехідного процесу є менш відповідальною, наприклад,

Виведемо формулу, що дозволяє обчислювати такий критерій. Для цього продиференціюємо по s функцію

що здійснює перетворення по Лапласу функції y(t):

,

Якщо перейти до межі

при , то отримаємо

Слід зазначити, що для обчислення таких критеріїв не потрібне знання перехідного процесу. Чим менше значення лінійного інтегрального критерію, тим краще якість процесу регулювання. Проте використання даного типу критеріїв для знакозмінних перехідних процесів не дає об'єктивної картини, так, наприклад, для незгасаючої синусоїди = 0. Тому для оцінки якості регулювання таких процесів використовують інтегральні оцінки, знакозмінністьпідінтегральної функції яких усунена яким-небудь чином.

Приклад 8.1 Потрібно обчислити для системи з

Рішення. Знайдемо y(s).

Оскільки

,

а

то

8.1.3.2 Модульний інтегральний критерій

(8.7)

застосовується для оцінки якості коливальних процесів, а для неколивальних процесів він співпадає з лінійним інтегральним критерієм. Для його обчислення потрібне знання перехідного процесу. На практиці цей критерій використовується при чисельному дослідженні систем на моделях із застосуванням обчислювальної техніки, тобто там, де операція взяття модуля не визиває труднощів. Геометрично критерій рівний площі, увязненій між кривою \y(t)\ і віссю абсцис (рис. 8.7, б). В деяких випадках використовують модифікацію модульного інтегрального критерію:

(8.8)

яка надає більше ваги значенням перехідного процесу в його кінці.