2.2 Основні типи регулярних сигналів. Періодичні і безперервні сигнали

До основних типів регулярних сигналів відносяться періодичний, майже періодичний і неперіодичний сигнали.

Періодичний сигнал є функцією часу, що задовольняє умові

(2.1)

де – будь-який момент часу на інтервалі ; – деяка постійна – найменший кінцевий проміжок часу, що задовольняє умові (2.1), називається періодом функції .

Періодична функція повинна бути відома тільки в межах інтервалу часу, рівного періоду далі вона в точності повторюється впродовж кожного періоду.

Періодичний сигнал фізично нереалізована, оскільки реальний сигнал не може продовжуватися нескінченно, він має початок і кінець. Проте в теоретичних дослідженнях поняття періодичного сигналу використовується широко і дає результати, відповідні спостережуваним насправді.

Періодична функція довільного вигляду, що задовольняє умовам Дирихле: обмежена кусочно-безперервна, має кінцеве число екстремумів на періоді, може бути представлена рядом

(2.2)

де – постійна складова; – амплітуда; – частота; – початкова фаза -й гармоніки.

Таким чином, періодичний сигнал можна розглядати як результат накладання одногона другий нескінченної кількості гармонік і постійної складової.

Майже періодичний сигнал є функцією, що складається з суми гармонійних складових з довільними частотами. При управлінні тим або іншим процесом зустрічаються сигнали, частоти яких не знаходяться в простих кратних співвідношеннях, що і зумовлює використання майже періодичних сигналів. Основною властивістю останніх є той факт, що для них може бути визначений наближений період (майже період).

Неперіодичним сигналом називається регулярний сигнал, визначуваний неперіодичною функцією, заданою в межах скінченного або напівнескінченного проміжку часу, поза яким вона тотожно рівна нулю. Форма сигналу може бути практично будь-якою.

Неперіодичний сигнал можна представити періодичною функцією часу з нескінченно великим періодом.

Математичний метод представлення складних сигналів як періодичних, так і неперіодичних у вигляді сукупності елементарних гармонійних складових називається гармонійним аналізом.

3. Перетворення Фурье, його основні властивості

Для характеристики спектрів сигналів використовується перетворення Фурье. Прямим перетворенням Фурье називається оператор

(2.3)

зворотним перетворенням Фурье –

(2.4)

Перетворення Фурье ставить у взаємну відповідність дві множини функцій перша множина – функції дійсного аргументу ; друга множина – функції уявного аргументу . Пряме перетворення Фурье (2.3) дозволяє по заданому оригіналу знайти його зображення , зворотне перетворення (2.4) дозволяє, навпаки, по заданому зображенню знайти оригінал .

Основними властивостями перетворення Фурье є:

1 Лінійність.

Якщо , то

(2.5)

де – деякі функції; – зображення відповідних функцій.

2 Теорема запізнювання.

Если , то

(2.6)

3 Теорема зсуву спектру.

Якщо то

(2.7)

4 Різний характер функції f(t).

Якщо функція парна, то її зображення є речовою функцією, парною відносно і визначається як

(2.8)

Якщо функція непарна, то її зображення є чисто уявною функцією, непарною відносно :

(2.9)

Загальна кількість властивостей перетворення Фурье значно більше, але саме приведені вище (2.5) – (2.9) використовуються при дослідженні регулярних сигналів.