7.5 Аналіз систем на запас стійкості
Для
аналізу систем на запас стійкості
використовується аналог критерію
Найквіста. Згідно
критерію Найквіста замкнута система
знаходиться на межі стійкості, якщо АФХ
розімкнутої системи проходить через
точку (-1,
i0).
Застосовуючи
цей критерій для дослідження системи
на запас стійкості, можна стверджувати,
що якщо розімкнута система володіє
запасом стійкості і розширена
амплитудно-фазова характеристика не
охоплює точку (-1,
),
то
замкнута система має запас стійкості
не менше, ніж заданий.
Якщо запас стійкості оцінюється ступенем стійкості η, то для аналіза системи аналог критерію Найквіста може бути використаний в наступному формулюванні. Якщо розімкнута система має ступінь стійкості ηзад, то замкнута система буде володіти заданим ступенем стійкості, якщо РАФХ розімкнутої системи W(-η, iω) проходить через точку (-1, ). Якщо РАФХ розімкнутої системиW(-η, iω) не охоплює точку (-1, ), то ступінь стійкості замкнутої системи буде вищий заданою ηзад.
Умова,
згідно якої замкнута система володітиме
заданим ступенем коливальності m,
формулюється таким чином. Якщо розімкнута
система має ступінь коливальності mзад,
то замкнута система буде володіти
заданим ступенем коливальності, якщо
РАФХ розімкнутої системи W(-mω+iω)
проходить через точку (-1,
).
Якщо
РАФХ розімкнутої системи W(-mω+iω)
не
охоплює точку
(-1,
),
то ступінь
коливальності замкнутої системи буде
вищий
.
При аналізі системи на запас стійкості по модулю і по фазі необхідно побудувати АФХ замкнутої системи і визначити досліджувані запаси стійкості графічно, згідно їх визначенню.
При оцінці запасу стійкості по показнику коливальності М будується АФХ розімкнутої системи і коло радіусом
з центром в точці
.
Замкнута система володіє запасом стійкості вище заданого, якщо АФХ розімкнутої системи не заходить всередину цього кола. Якщо АФХ торкається цього кола, то замкнута система володіє заданим запасом стійкості.
7.6 Синтез систем з необхідним запасом стійкості
Необхідно провести синтез систем, що володіють заданим запасом стійкості, наприклад, заданим ступенем коливальності mзад. Під синтезом в даному випадку розумітимемо розрахунок настройок регуляторів в замкнутій одноконтурній системі регулювання.
Як відомо, для того, щоб замкнута система володіла заданим запасом стійкості - заданим ступенем коливальності, необхідно і достатньо, щоб РАФХ розімкнутої системи W(-mω+iω) проходила через точку (-1, i0). На підставі цього можна записати:
(7.11)
Рівняння (7.11) можна звести до системи двох рівнянь, що відображають зв'язок між частотними характеристиками об'єкту і регулятора:
(7.12)
де
- параметри
настройок регуляторів. Система рівнянь
(7.12) дозволяє визначити робочу частоту
і параметри настройок регуляторів, ця
система може бути записана також у
вигляді:
Система с п-регулятором
Розширена
амплитудно-фазова характеристика
П-регулятора записується у вигляді:
,
тоді
система рівнянь (7.12) для системи
автоматичного регулювання з П-регулятором
перетвориться до вигляду:
(7.13)
Рис. 7.13 Визначення настройки П-регулятора, що забезпечує задану ступінь коливальності:
а – визначення робочої частоти ωР; б –визначення значення РАЧХ об'єкта при робочій частоті ωР.
З другого рівняння системи визначається робоча частотаωр. Останню можна визначити і графічно, для чого слід побудувати розширену фазочастотную характеристику об'єкту і пряму, рівну -π (рис.7.13,а), перетин яких і дає ωр. Настройка П-регулятора визначиться по співвідношенню
(7.14)
де значення розширеної АЧХ об'єкта можна визначити як аналітично, так і графічно
(рис. 7.13, б).