7.2.1 Межа стійкості для систем з пі-регулятором

Межа стійкості, яка визначається по рівнянню (7.1), для системи з ПІ-регулятором запишеться як

(7.2)

Це рівняння можна записати у вигляді системи рівнянь, використовуючи амплітудно-частотні і фазочастотні характеристики:

(7.2,а)

або дійсні і уявні частотні характеристики:

(7.2,б)

У площині параметрів настройок ПІ -регулятора будується межа стійкості по рівняннях (7.2), з яких по заданій частоті визначаються настройки і . Отримана крива і є межею стійкості, нижче за цю криву розташовується область стійкої роботи, а вище - область нестійкої роботи системи регулювання.

7.2.2 Межа стійкості для систем з пі-регулятором

Якщо в системі автоматичного регулювання використовується ПІ -регулятор з передаточною функцією , то система рівнянь (7.2) приймає вигляд:

(7.3)

З другого рівняння системи (7.3) визначається робоча частота ωр (рис. 7.1), відповідна межі стійкості, по якій з першого рівняння визначається граничне значення настройки :

(7.4)

Рис. 7.1 Визначення частоти для Рис. 7.2 Графічне визначення граничного

межі стійкості системи значення настройки

з ПІ -регулятором ПІ -регулятора

Граничне значення настройки ПІ -регулятора можна визначити і графічним методом, використовуючи співвідношення

Якщо прийняти, що = 1, то відрізок d на негативній дійсній піввісі повністю визначається АФХ об'єкта і відповідає її дійсній частині при рівності уявної нулю. В цьому випадку АФХ розімкнутої системи співпадає з АФХ об'єкта.

Збільшення настройки приводить до того, що АФХ розімкнутої системи починає збільшуватися і відсікає на дійсній негативній піввісі відрізок (рис. 7.2). Подальше збільшення приводить до того, що при якомусь значенні АФХ розімкнутої системи пройде через точку (-1, ), тобто система вийде на межу стійкості r = 1. Це значення буде граничним і визначиться із співвідношення , отже, , тобто для визначення настройки досить побудувати АФХ об'єкту і заміряти відрізок d.

7.2.3 Межі стійкості для системи з і-регулятором

При використанні в системі автоматичного регулювання І-регулятора система рівнянь (7.2), що визначає межі стійкості, записується у вигляді:

(7.3)

Як і у разі використання ПІ -регулятора з другого рівняння системи (7.5) визначається робоча частота (рис.7.3), по якій з першого рівняння визначається граничне значення настройки :

(7.6)

При графічному визначенні граничного значення параметра настройки Soсистема рівнянь (7.5) записується у вигляді

(7.7)

Рис. 7.3 Визначення частоти для Рис. 7.4 Графічне визначення граничного

межі стійкості системи значення настройки

з І-регулятором І-регулятора

Будується АФХ об'єкту, а потім АФХ розімкнутої системи при = 1 (рис. 7.4). Для побудови останньої вектор АФХ об'єкту необхідно розвернути на кут , а його модуль розділити на ω. В результаті побудови визначається відрізок d, що відсікаєтьсяАФХ розімкнутої системи на негативній дійсній піввісі. Збільшення значення настройки приводить до того, що АФХ розімкнутої системи "розпухає" і відсікає вже на негативній дійсній піввісі відрізок r, який визначаєтьсяу як .

Подальше збільшення приводить до того, що АФХ розімкнутої системи пройде через точку (-1, ), і отже r = 1, а звідси граничне значення настройки І-регулятора визначиться як

.

Таким чином, для того, щоб синтезувати стійку систему, необхідно вибирати настройки ПІ - і І-регуляторів менше граничних значень, а ПІ -регулятора з області, розташованої нижче межі стійкості.