6.7.5 Область стійкості

На стійкість системи автоматичного регулювання впливають параметри системи, це наочно було видно на прикладі, розглянутому вище. Геометричний образ залежності стійкості від параметрів системи називається областю стійкості і був введений в розгляд І. А. Вишнеградським. Побудова областей стійкості є одним з найбільш цінних для практики результатів дослідження стійкості системи.

Область стійкості будується в просторі параметрів, під яким розуміється простір, координатами якого є параметри системи. Кількість параметрів може бути будь-якою, але для графічного зображення найбільш поширеними є два.

Хай характеристичне рівняння системи має вигляд

(6.38)

де А іВ – параметри системи.

Для стійкості системи, виходячи з критерію Гурвіця, необхідно і достатньо, щоб звідки межа області стійкості буде .

У площині параметрів A і В межа області стійкості є гіперболою, званою гіперболою Вишнеградського (рис. 6.18). Область стійкої роботи відмічена штрихуванням.

Рис. 6.20 Гіпербола Вишнеградського

Межі області стійкості можуть бути знайдені, якщо прирівняти нулю коефіцієнти

Друга з цих меж відповідає наявності нульового кореня характеристичного рівняння, а третя – наявності чисто уявного кореня. Рівняння (6.39) розбивають простір параметрів на ряд областей, з яких стійкою буде та область, де визначники Гурвіця додатні.

6.8 Частотні критерії стійкості

Частотні критерії стійкості дозволяють судити про стійкість систем автоматичного управління по вигляду їх частотних характеристик. Ці критерії дозволяють досліджувати стійкість систем високого порядку і мають просту геометричну інтерпретацію.

6.8.1 Принцип аргументу

У основі частотних критеріїв стійкості лежить слідство відоме з теорії функції комплексного змінного принципу аргументу. Хай даний поліномn-гоступені (6.27):

Цей поліном відповідно до теореми Безу можна представити у вигляді

(6.40)

де – коренірівняння

Кожен корінь геометрично може бути зображений вектором, проведеним з початку координат до точки s_j(рис. 6.19, а). Довжина його рівна модулю комплексного числа, а кут, утворений вектором з додатним напрямом дійсної осі, – аргументу або фазі комплексного числа.

Величини геометрично зображаються вектором, проведеним з точки до довільної точкиs (рис. 6.19, б).

При , наприклад, отримують:

(6.41)

і кінці всіх векторів знаходитимуться на уявній осі (рис. 6.19, в).

Розглядаючи вектор отримують, що модуль його рівний

(6.42)

а аргумент

(6.43)

Якщо прийняти за додатний напрям відліку кутів обертання проти годинникової стрілки, то при зміні частоти від до кожен елементарний вектор повертається на кут , якщо корінь розташований зліва від уявної осі, і на якщо справа (рис. 6.19, г).

Якщо поліном має m правих коренів і лівих, то при зміні ω від до зміна аргументу вектора D(iω) рівна сумі кутів повороту вектора (iω – s_j), тобто

(6.44)

Звідки витікає наступне правило: зміна аргументу при зміні частоти від до+ дорівнює різниці між числом лівих і правих коренів рівняння D =0,помноженій на .

При зміні частоти від 0 до зміна аргументу вектора буде удвічі менше

Рис. 6.21 Принцип аргументу

(6.45)

Це правило покладене в основу всіх частотних критеріїв.