6.6 Необхідна умова стійкості
В п. 6.2 отримана необхідна і достатня умова стійкості – від’ємність дійсних частин коренів характеристичного рівняння або, що ідентично, ці корені повинні розташовуватися зліва від уявної осі.
У цих формулюваннях викладена не тільки ознака стійкості, але і дан, по суті, метод дослідження стійкості: необхідно знайти корені характеристичного рівняння і перевірити, чи лежать вони в лівій напівплощині чи ні. Проте такий метод абсолютно неадекватний завданню дослідження через наступні причини.
1 Завдання визначення коренів характеристичного рівняння просто вирішується тільки для рівнянь першого і другого порядку; для всіх інших випадків доводиться користуватися різними наближеними, порівняно громіздкими методами.
2 Для визначення стійкості необхідно знати тільки знаки коренів, тому визначення кореня представляє непотрібну трудомістку роботу. Тим часом не отримують загальних формул, по яких можна було б судити про вплив коефіцієнтів рівнянь на стійкість системи, але саме цей вплив, в першу чергу, і цікавить проектувальника системи автоматичного регулювання.
Завдання дослідження часто ставиться таким чином, що необхідно визначити коефіцієнти рівнянь, при яких система була б стійка.
У розпорядженні дослідника є методи, системи, що дозволяють судити про стійкість, за так званими умовами стійкості, не вирішуючи характеристичного рівняння і не знаходячи його корені. Першою такою умовою, яку слід розглянути, є необхідна умова стійкості.
Нехай
характеристичне рівнянняn-їступені
має корені
Тоді це рівняння можна записати таким
чином
|
(6.26) |
Якщо система стійка, то корені повині бути або дійснимивід’ємними, або комплексно-зв'язаними з від’ємною дійсною частиною.
Нехай
Нехай
тоді
Звідси витікає, що після розкриття дужок всі коефіцієнти рівняння будуть додатні. З цих міркувань виходить, що, коли хоч один з коефіцієнтів характеристичного рівняння від’ємний, то система нестійка.
Якщо
всі коефіцієнти характеристичного
полінома
то будь-яке дійсне додатне значенняs,
підставлене
в рівняння, не може обернути його в нуль
і, отже, не є коренем характеристичного
рівняння. Тому при
неможлива поява наростаючих експонент,
що характеризують аперіодичну нестійкість,
тобто аперіодична нестійкість неможлива.
Проте може виникнути коливальна
нестійкість, тобто поява в рішенні
складових у вигляді коливань з наростаючою
амплітудою. Це виникає, коли існує
комплексно-зв'язані корені з додатною
дійсною частиною. Тому умова додатності
коефіцієнтів при порядку системи більше
двох є необхідною умовою, але не
достатньою, а для рівнянь першого і
другого порядку ця умова є і достатньою.
Дійсно:
Якщо
корені комплексно-зв'язані, то
Отже,
і
оскільки
6.7 Алгебраїчні критерії стійкості
Критерій стійкості Рауса і Гурвіця дозволяє по коефіцієнтах характеристичного рівняння без обчислення його кореніввизначити стійкість системи.
Словацький учений А. Стодола, що викладав в Швейцарії, поставив перед швейцарським математиком Гурвіцем завдання знаходження умов стійкості для лінійної системи будь-якого порядку.
Таке ж завдання поставив Максвел в своїй доповіді, на якій був присутній англійський математик Раус. В результаті, незалежно один від одного і в різних формах, Раус і Гурвіц вивели нерівності, дотримання яких є необхідною і достатньою умовою стійкості систем будь-якого порядку.