6.5.1 Орбітальна стійкість

Вводиться поняттяε - околиці незбуреного руху. З цією метою розглядається траєкторія незбуреного руху і будується криволінійний циліндр радіусомε, віссю якого є ця траєкторія.

Вважається, що траєкторія збуреного руху мало відхиляється від траєкторії незбуреного руху, якщо вона цілком лежить вε-околиці незбуреного руху (ε − мале). Збурений рух виходить з точки (рис. 6.15).

Стійкість – це властивість руху, що має якісний, а не кількісний характер. Тому при формулюванні поняття стійкості важлива лише принципова можливість підібрати таке малеη, щоб крива збуреного руху не вийшла зε- околиці незбуреного руху при будь-якому значенніε. Якщо така можливість існує, то рух стійкий, якщо вона відсутня, то нестійкий.

Рис. 6.15. До визначення орбітальної стійкості

Говорять, система володіє орбітальною стійкістю, якщо при будь-якому ε можна підібрати таке відмінне від нуля значенняη у виразі щоб траєкторія збуреного руху не вийшла зε- околиці незбуреного руху, то останнє називається стійким. Якщо ж підібрати такеη не можна, то незбурений рух нестійкий.

Поняття орбітальної стійкості має істотний, принциповий недолік, що обмежує межі його застосовності. При орбітальній стійкості збурений рух може значно відрізнятися від незбуреного.

Якщо навіть траєкторії і близькі, але точки М і М' рухаються з різними швидкостями, то з часом відстань між ними може виявитися великою (рис. 6.16), тобто якщо – координати точки то за наявності орбітальної стійкості може вмявитися, що величини стануть великими. У зв'язку з цим вводиться поняття стійкості по Ляпунову.

6.5.2 Стійкість по ляпунову

Рух називається стійким по Ляпунову, якщо для будь-якого можна вказати число таке, що з нерівності при слідує нерівність для всіх

Сенс поняття стійкості по Ляпунову полягає в тому, що рух стійкий, якщо при достатньо малому початковому зрушенні від точка у подальшому русі достатньо близька до М. Якщо ж підібрати таке не можна, той рух нестійкий.

6.5.3 Асимптотична стійкість

Під стійкістю дуже часто розуміють властивість тіла повертатися в стан рівноваги, з якої воно заздалегідь було виведене, наприклад, маятник після затухаючих коливань повернеться до положення рівноваги (рис. 6.16). Подібне визначення можна ввести і для незбуреного руху.

Рис. 6.16До визначення асимптотичної стійкості

Якщо при русі в просторі точки М і необмежено зближуються і різниці їх координат то збурений рух поступово повертається до незбуреного. Такий рух називається асимптотично стійким.

Рух називається асимптотично стійким, якщо можна підібрати таке η, що, якщо то виконується умова при

Поняття асимптотичної стійкості вужче, ніж поняття стійкості по Ляпунову. Якщо рух асимптотично стійкий, то вын напевно стійкий по Ляпунову. Але зворотне твердження, взагалі кажучи, несправедливо. Рух може бути стійким по Ляпунову, але не бути асимптотично стійким.