6.3 Зображення руху у фазовому просторі

6.3.1 Поняття фазового простору

При розгляді стійкості руху надзвичайно корисним виявилося введення деяких наочних понять і представлень геометричного характеру. Основним з них є поняття фазового простору, введене академіком Андроновим.

Фазовим простором називається такий простір, в якому прямокутними координатами точки є величини, що визначають миттєвий стан системи, звані фазовими координатами.

Метод фазового простору застосовний як для лінійних, так і для нелінійних систем.

Будь-яке диференціальне рівняння n-гопорядку можна записати у вигляді системи з n лінійних диференціальних рівнянь першого порядку:

що описує перехідний процес за наявності збурень

У якості фазових координат вибирають вихідну координату системи і її похідні.

Точка фазового простору (рис. 6.6), що відповідає стану системи в даний момент часу t, називається зображаючою точкою(М).

Зміна стану системи в часі відповідатиме руху зображаючої точки, у фазовому просторі по певній траєкторії, яка називається фазовою траєкторією.

Кожному перехідному процесу в системі відповідає своя певна фазова траєкторія у фазовому просторі і навпаки.

Метод фазового простору набув найбільшого поширення при дослідженні систем другого порядку. В цьому випадку фазовим простором є площина. Система диференціальних рівнянь (6.7) для системи другого порядку в загальному випадку записується у вигляді:

(6.8)

Фазові траєкторії для систем другого порядку мають наступні властивості.

1 В кожній точці фазової площини можна провести єдину дотичну до фазової траєкторії, тобто через кожну точку фазової площини проходить тільки одна траєкторія, виняток становить початок координат:

Напрям дотичній на початку координат невизначено, при цьому початок координат, відповідний стану рівноваги системи, називається особливою точкою.

2 напрям руху на траєкторії відзначають стрілками. Рух зображаючої точки по фазовій траєкторії відбувається за годинниковою стрілкою навколо початку координат.

3 У точках y₁ = 0, y₂ = 0, т.е. У особливих точках, відбувається зупинка руху.

4 У системах другого порядку фазові траєкторії перетинають вісь абсцис під прямим кутом, оскільки при досягає свого максимуму.

5 У верхніх квадрантах координатної площини зображаюча точка, рухається завжди зліва направо, а в нижних– справа наліво, оскільки при змінна зростає, а при змінна убуває.

6 У будь-якій точці фазової площини, де змінна і функція не рівні нулю, фазова траєкторія має тільки один певний напрям, відповідний похідній у даній точці, звідки витікає, що фазові траєкторії не перетинаються.

Початкові умови перехідного процесу визначають координати початкової точки на фазовій траєкторії.

Сукупність фазових траєкторій, відповідних всім можливим в даній системі початковим умовам, називається фазовим портретом системи.

6.3.2 Фазові портрети лінійних систем другого порядку

Для отримання рівнянь, що описують фазовий портрет системи другого порядку, необхідно в системі диференціальних рівнянь (6.8) друге рівняння поділити на перше і виключити з розгляду час t, внаслідок чого отримують:

Вирішення цього рівняння дає сімейство інтегральних кривих на фазовій площині, по яких будуються фазові траєкторії системи.

Фазові портрети лінійних систем другого порядку класифікуються по типах особливих точок.

Лінійна система другого порядку описується диференціальним рівнянням вигляду

(6.9)

де -вихідна координата системи; -постійні коефіцієнти. Позначивши

а

тоді

і рівняння (6.9) можна записати у вигляді системи диференціальних рівнянь:

(6.10)

Розділивши друге рівняння на перше, отримують

(6.11)

Вирішенням якого буде рівняння фазових траєкторій

(6.12)

де − постійні інтегрування.

Можливі шість різних випадків фазових траєкторій залежно від коренів характеристичного рівняння

Випадок 1

Корені– уявні при Система знаходиться на межі стійкості.

Рівняння системи: його рішення має вигляд

(6.13)

Звідки

(6.14)

Графік показаний на рис. 6.7.

Для отримання рівняння фазової траєкторії вирази (6.13) і (6.14) зводять в квадрат і складають, в результаті отримують рівняння:

(6.15)

Виразом (6.15) є рівняння еліпса з півосямиA і . Задаючи різні А, отримують сімейство фазових траєкторій, які ніде не перетинаються і мають загальний центр на початку координат (рис. 6.7, в).

Напрям рухузображаючої точки M, в кожній половині фазової площини визначається по знаку . При додатній величині може тільки збільшуватися, а при від’ємній −зменшуватися, отже, рух зображаючої точкина фазовій площині відбувається за годинниковою стрілкою, тому незгасаючим періодичним коливанням в системі відповідає на фазовій площині замкнута фазова траєкторія.

Рис. 6.7 Фазовий портрет типу центр: а − площина коренів характеристичного рівняння; б − перехідний процес; в − фазовий портрет

Особлива точка системи є геометричним центром фазових траєкторій і носить назву центр, а сама система називається консервативною (тобто система без розсіювання енергії, без тертя).

Випадок 2 корені− комплексні і мають від’ємні дійсні частини при

(рис.6.8,а), – система стійка. Вирішення рівняння (6.9) має вигляд:

(6.16)

Звідки

(6.17)

де

Рівняння (6.16) і (6.17) дають у фазовій площині параметричне рівняння спіралей (з параметром t). З кожним оборотом, відповідним одному періоду коливань, зображаюча точка наближається до початку координат, оскільки значення y₁і y₂за період коливань стає менше, тобто перехідний процес має характер затухаючих коливань.

Особлива точка називається стійким фокусом.

Рис. 6.8 Фазовий портрет типу стійкий фокус: a − розташування коренів характеристичного рівняння; б− перехідний процес; в –фазовий портрет

Рис. 6.9 Фазовий портрет типу нестійкий фокус: а − розташування коренів характеристичного рівняння; б − перехідний процес; в − фазовий портрет

Випадок 3Корені–комплексні і мають додатні дійсні частини при

Цей випадок відповідає коливаннямв системі, що розходяться, тобто система є нестійкою. Вирішення рівняння (6.9):

(6.18)

Звідки

(6.18а)

Фазова точка, рухаючись по фазовій траєкторії, необмежено віддаляється від початку координат.

Стану нестійкої рівноваги системи відповідає особлива точка, яка називається нестійкий фокус (рис. 6.9).

Якщо в результаті скільки завгодно малого збурення система вийде із стану рівноваги, то вона необмежено віддалятиметься від нього по спіралі фазової траєкторії, тобто в системі виникає коливальний процес із зростаючою амплітудою.

Випадок 4 корені – дійснівід’ємні при

Цей випадок відповідає аперіодичному процесу в системі, сама система стійка.

Вирішення рівняння (6.9)

(6.20)

Звідки

(6.21)

Межею області з перехідними процесами типу 1 і 2 служать прямі з рівняннями які виходять з (6.20), (6.21) при (звернення однго з коренів в нуль).

Всі фазові траєкторії вливаються в початок координат –особливу точку, звану стійким вузлом (рис. 6.10). Час руху до стану рівноваги теоретично рівний нескінченності.

Рис. 6.10 Фазовый портрет типа стойкий узел: а − розташування коренів характеристичного рівняння; б − перехідний процес; в − фазовий портрет.

Випадок 5 корені–дійснідодатні при

У системі буде аперіодичний процес, вона нестійка. Вирішення рівняння (6.9):

(6.22)

Рис. 6.11 Фазовий портрет типу нестійкий вузол: а− розташування коренів характеристичного рівняння; б− перехідний процес; в− фазовий портрет

Звідки

(6.23)

Фазові траєкторії направлені від початку координат в нескінченність, тобто якщо в системі є відхилення від стану рівноваги (початок координат), то з часом воно необмежено зростатиме.

Особлива точка носить назву нестійкий вузол (рис. 6.11). По аналогії з випадком 4 кривим перехідного процесу вигляду 1 відповідаютьфазові траєкторії вигляду 1, де крайні траєкторії визначаються рівняннями Кривим перехідного процесу 2 відповідають фазові траєкторії вигляду 2.

Випадок 6 Коріння –дійсні і мають різні знаки при

В цьому випадку буде нестійка система (при – граница стійкості).

Перехідний процес в системі має аперіодичний характер, але фазовий портрет має абсолютно інший вигляд.

Часним є випадок, коли і, враховуючи, що рівняння (6.9) запишеться у вигляді

(6.24)

Інтегрування цього рівняння дає

(6.25)

Рис. 6.12 Фазовий портрет типу сідло: а – розташування коренів характеристичного рівняння; б – перехідний процес; в – фазовий портрет

Вираз (6.25) є рівняння сімейства рівносторонніх гіпербол, віднесене до головних осей. Асимптота гіпербол:

Кожна з асимптот складається з трьох фазових траєкторій, тобто особлива точка розглядається як одна з фазових траєкторій.

Особлива точка носить назву сідло, а асимптоти на фазовій площині називаються сепаратрисами сідла (рис. 6.12).По двох сепаратрисахзображаюча точка наближається до стану рівноваги, а по двох інших віддаляється від нього.

Рухаючись по будь-якій фазовій траєкторії, зображаюча точка після закінчення достатньо великого часу віддаляється від стану рівноваги на скільки завгодно велику відстань.

Сідло є нестійким станом рівноваги, навіть коли початкові умови точно відповідають точці на сепаратрисі, щонайменше збурення приводить до того, що зображаюча точка, потрапивши на сусідню траєкторію, необмежено віддалятиметься по ній від стану рівноваги.