4.6 Мінімально-фазові системи

Амплітудно-фазову характеристику системи можна записати не у вигляді (4.8), а, скориставшись теоремою Безу, як

(4.18)

де – нулі, a − полюси передаточної функції.

Чисельник функції (4.18) є добуток співмножників . Геометрично ця різниця є вектором, почало якого лежить в точці , а кінець – на уявній осі в точці (рис. 4.12). Порівняння двох векторів і , один з яких лежить в лівій напівплощині і характеризується фазою , а інший – у правій напівплощині і характеризується фазою , показує, що при одному і тому ж модулі завжди , тобто для вектора, лежачого в лівій напівплощині, фаза менша.

Системи (ланки), всі нулі і полюси передаточних функцій яких лежать в лівій напівплощині (дійсна частина нулів і полюсів є від’ємною величиною – називаються мінімально-фазовими.

Рис. 4.12 До визначення минимально-фазовых систем

Системи (ланки), у яких хоч би один нуль або полюс передаточної функції лежить в правій напівплощині (дійсна частина нулів, полюсів є додатною величиною – називаються немінімально-фазовими.

Можна показати, що для мінімально-фазових ланок існують залежності:

(4.19)

де –змінна інтегрування.

Ці залежності показують, що амплітудно-фазова характеристика минимально-фазової системи (ланки) повністю визначається її ДЧХ, УЧХ або АЧХ. Це дозволяє значно спростити завдання аналізу і синтезу даних систем, обмежуючись вивченням їх ДЧХ або АЧХ.

Немінімально-фазову систему в простому випадку можна представити у вигляді послідовного з'єднання мінімально-фазової системи і ланки, що має один нуль в правій напівплощині і, відповідно, характеризується АФХ:

(4.20)

Амплітудно-частотна характеристика цієї ланки , a фазо-частотна –

Таким чином, дана ланка зберігає амплітуду вихідного гармонійного сигналу рівною амплітуді вхідного сигналу при будь-якій частоті, фаза ж при зміні частоти від 0 до міняється в інтервалі від до 0, тобто включення ланки з АФХ приводить до додавання додатного зрушення фази який при рівний і зменшується при зростанні частоти.

Подібні ланки на практиці використовуються для коректування фазових характеристик ланцюгів, для підвищення стійкості і так далі.

4.7 Поняття про логарифмічні частотні характеристики

Окрім частотних характеристик, що розглядаються вище, іноді використовують, так звані, логарифмічні частотні характеристики (ЛЧХ). Для їх отримання вираз АФХ (4.15) записується у вигляді

і логарифмується

Для оцінки відношення двох величин використовується логарифмічна одиниця – децибел. Зв'язок між числом децибел і деяким числом дається формулою

Характеристика

(4.21)

називається логарифмічною амплітудною частотною характеристикою (ЛАЧХ).

При побудові логарифмічних частотних характеристик по осі абсцис відкладається частота в логарифмічному масштабі – , тому логарифмічна амплітудна частотна характеристика будується в координатах ; логарифмічна фазова частотна характеристика (ЛФЧХ) – ; (рис. 4.13). Логарифмічні частотні характеристики називають також діаграмами Боде.

Рис. 4.13 Логарифмічні частотні характеристики: а – ЛАЧХ; б – ЛФЧХ