2. Властивості перетворення Лапласа

При використанні перетворення Лапласа необхідно знати і застосовувати його властивості, деякі з них формулюються таким чином.

1. Теорема лінійності: для будь-яких дійсних або комплексних постійних і лінійній комбінації оригіналів відповідає така ж комбінація зображень

(3.18)

де ; .

2. Теорема подібності: множення аргументу оригіналу на будь-яке постійне додатне число приводить до ділення аргументу зображення на те ж число :

(3.19)

3. Теорема загасання: множення оригіналу на функцію де – будь-яке дійсне або комплексне число, спричиняє за собою ''зміщення" незалежної змінної :

(3.20)

4. Теорема запізнювання: для будь-якого постійного

(3.21)

5. Теорема диференціювання по параметру: якщо при будь-якому значенні оригіналу відповідає зображення , то

(3.22)

6. Теорема диференціювання оригіналу: якщо , то

(3.23)

тобто диференціювання оригіналу зводиться до множення на його зображення і відніманню .

Зокрема, якщо , то . Застосовуючи теорему необхідну кількість разів, отримують

(3.24)

Якщо , то

(3.25)

тобто при нульових початкових значеннях n-кратне диференціювання оригіналу зводиться до множення на його зображення.

7. Теорема інтегрування оригіналу: інтегрування оригіналу в межах від 0 до приводить до ділення зображення на :

(3.26)

8. Теорема диференціювання зображення: диференціювання зображення зводиться до множення оригіналу на :

(3.27)

9. Теорема інтегрування зображення: інтегруванню зображення в межах від до відповідає ділення оригіналу на t, тобто якщо інтеграл сходиться, то

(3.28)

10. Теорема множення зображення: якщо , , то згортці функцій

(3.29)

відповідає добуток зображень

(3.30)

11. Теорема множення оригіналів: добутку оригіналів відповідає згортка зображень

(3.31)

де

12. Теорема про кінцеве і початкове значення функції:

	(3.32)
	(3.33)

3. Рішення диференціальних рівнянь

Одним з найважливіших застосувань операційного числення – перетворення Лапласа – є вирішення лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, якими якраз і описуються дані системи автоматичного управління.

Рішення диференціального рівняння в цьому випадку складається з наступних етапів:

1) перетворення рівняння по Лапласу;

2) відшукання рішення в області комплексної змінноїs;

3) перехід в область дійсної змінної шляхом зворотного перетворення Лапласа.

Приклад 3.2.

Перетворимо дане рівняння по Лапласу:

Звідки

Нехай поліном має рішення і тоді, як буде показано нижче, можна записати

де – деякі коефіцієнти, визначені методом невизначених коефіцієнтів:

Користуючись таблицями зворотного перетворення Лапласа, знаходимо

Отриманий вираз є рішенням лінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку при вхідному сигналі тобто нічим іншим, як перехідною функцією для лінійного об'єкту другого порядку.