3.6 Перехідна і вагова функції

3.6.1 Перехідна функція

Для отримання перехідної функції у якості стандартного сигналу використовується одинична функція часу (2.16). Такого роду дії відповідає, наприклад, скидання або включення навантаження в системах регулювання (відмова мотора в системі регулювання).

Рис. 3.10 Перехідна характеристика хімічного реактора:

а – ступінчата дія; б – крива розгону

Перехідною функцією називається аналітичний вираз для вирішення лінійного диференціального рівняння (3.8) при вхідному сигналі і нульових початкових умовах, тобто

(3.12)

Кривою розгону називається реакція об'єкту (системи) на одиничну ступінчату дію за нульових початкових умов.

На практиці крива розгону визначається експериментальним шляхом і використовується у якості початкових даних для аналізу і синтезу систем автоматичного управління досліджуваного об'єкта.

Тут слід ввести поняття прямої і зворотньої задач. Пряма задача (задача Коші) полягає у визначенні рішення диференціального рівняння із заданими початковими умовами. У зворотному завданні потрібно відновити вигляд і коефіцієнти диференціального рівняння по відомій інтегральній кривій, наприклад, перехідній функції. Рішення зворотної задачі представляє значну складність унаслідок її некоректності і тут існує спеціальний математичний апарат. Так, наприклад, якщо припустити, що перехідна функція описується рішенням рівняння першого порядку

де ; , то визначенню підлягають – коефіцієнт підсилення і – постійна часу.

У статиці і, отже , звідки коефіцієнт підсилення так як то .

Для визначення постійної часу початкове рівняння інтегрується в межах від 0 до :

Права частина останнього виразу є не що інше, як площа під експериментально знятою кривою розгону (рис. 3.10, б), тоді можна записати: звідки .

3.6.2 Вагова функція

Для отримання вагової функції, її також називають імпульсною перехідною функцією, у якості стандартного сигналу використовується δ-функція (2.17):

Таким чином, ваговою функцією називається реакція системи на δ-функцію за нульових початкових умов.

На практиці вагову функцію в окремих випадках можна отримати експериментальним шляхом вельми приблизно. Вважають, що на вхід об'єкту поданаδ-функція, якщо час дії імпульсу набагато менший часу перехідного процесу. Прикладом може служити експеримент по зняттю вагової функції хімічного реактора (рис. 3.4). Як вхідний сигнал в реактор виливається порція фарбувальної речовини (наприклад, чорнил). Через деякий час ця речовина з'явиться на виході, причому його концентрація спочатку зростає, а потім убуває – фарбувальна речовина вимивається (рис. 3.11).

Імпульс, що подається на вхід, є наближеною дельта-функцією, оскільки його площа відмінна від одиниці і рівна . Тому для отримання вагової функції експериментально знятий перехідний процес нормують шляхом ділення його ординат на величину площі вхідної дії .