3.3 Визначення лінійної стаціонарної системи. Принцип суперпозиції

У теорії управління до лінійних систем зазвичай відносять ті системи, в яких протікаючі процеси є стаціонарними і описуються лінійними диференціальними рівняннями з постійними або функціонально залежними від часу коефіцієнтами. Важливою властивістю таких систем є їх відповідність принципу суперпозиції. У зв'язку з цим визначення лінійної системи, як правило, дається в наступному варіанті: лінійними називаються системи, що підкоряються принципу суперпозиції, який полягає в тому, що реакція об'єкту на суму вхідних сигналів рівна сумі реакцій на кожен сигнал окремо для будь-яких .

Математичний запис принципу суперпозиції складається з двох співвідношень:

	(3.6)
	(3.7)

Важливо відзначити, що лінійність статичних характеристик є необхідною, але не достатньою умовою лінійності, оскільки виконання принципу суперпозиції необхідне не тільки в статиці, але і в динаміці. В той же час статична характеристика, що описується рівнянням прямої не відповідає принципу суперпозиції. Покажемо це на прикладі функції . Для цього проведемо експеримент, який можна проілюструвати постановкою не менше трьох дослідів.

1 дослід: на вхід об'єкту подамо сигнал і визначимо вихідну координату під дією цього сигналу (рис. 3.5, а).

2 дослід: на вхід об'єкту подамо інший сигнал і визначимо відповідну йому зміну вихідної координати (рис. 3.5, б).

3 дослід: на вхід об'єкту подається сигнал, рівний сумі по-перше двох дослідах і визначається вихідний сигнал (рис. 3.5, в).

Унаслідок того, що можна стверджувати, що для даної функції принцип суперпозиції не виконується. Для усунення даного типу нелінійності слід перенести початок координат так, щоб нульовому входу відповідав нульовий вихід.

Оскільки більшість об'єктів управління є нелінійними, то за певних умов нелінійні характеристики можуть бути приблизно замінені лінійними характеристиками, тобто проводиться лінеаризація нелінійних залежностей.

Рис. 3.5 Ілюстрація експерименту по перевірці об'єкту

Рис. 3.6 Лінеаризація нелінійної статичної характеристики

Одним з найбільш поширених способів лінеаризації є розкладання нелінійної функції в ряд Тейлора в околиці заданої точки і виключення нелінійних членів розкладання.

Хай статична характеристика описується нелінійною функцією ,що раз диференціюється, де – будь-яке натуральне число,яку необхідно линеаризувати в околиці точки (рис. 3.6). Якщо в межах максимальних можливих відхилень і от і мало відрізняється від лінійної функції, то можна замінити її наближенням . Функція знаходиться з ряду Тейлора:

.

Переходячи до нової системи координат, отримаємо лінеаризоване рівняння об'єкту де

3.4 Динамічне поводження лінійних систем

Під системою надалі розумітиметься будь-яка множина елементів (може бути окремий елемент), створююча деяку цілісну єдність незалежно до функцій, які вони виконують, тобто це може бути об'єкт, регулятор, система регулювання і так далі.

Система називається динамічною, якщо вона описується диференціальними, інтегральними або кінцевими рівняннями, залежними від часу, і називається статичною, якщо в її описі відсутній параметр часу.

Найбільший інтерес представляє вивчення динамічної поведінки лінійної системи, яка в загальному випадку представлена на рис. 3.7.

Рис. 3.7 Структурна схема системи

Основним завданням вивчення динамічної поведінки лінійної системи є можливість розраховувати вихідний сигнал для будь-якого відомого вхідного сигналу . У зв'язку з цим необхідно мати в своєму розпорядженні математичний апарат для дослідження лінійної системи (рис. 3.8).

Основними динамічними характеристиками, використовуваними в теорії автоматичного управління, є передаточна функція, диференціальне рівняння, часові характеристики: перехідна функція, вагова функція; частотні характеристики: амплітудно-фазова характеристика (АФХ), розширена амплітудно-фазова характеристика (РАФХ), логарифмічні частотні характеристики (ЛАФХ). Складовими основних частотних характеристик є амплітудно-частотна характеристика (АЧХ), фазо-частотна характеристика (ФЧХ), дійсно-частотна характеристика (ДЧХ), уявна частотна характеристика (УЧХ) і відповідно розширені – РАЧХ, РФЧХ і логарифмічні – ЛАЧХ, ЛДЧХ.

Рис. 3.8 Динамічні характеристики

Рис. 3.9 Взаємозв'язок динамічних характеристик

Між цими характеристиками існує зв'язок, який ілюструє схема, зображена на рис. 3.9.

Ряд динамічних характеристик можна отримати експериментальним шляхом, а деякі є теоретичними. На практиці експериментально отримують часові характеристики і частотні, точніше, АЧХ і ФЧХ, і вже на основі їх записуються диференціальне рівняння, передаточна функція, а також розширені і логарифмічні частотні характеристики. Так, щоб оцінити динамічну поведінку лінійної системи, необхідно ознайомитися зі всіма динамічними характеристиками.