2.13. Асимптоты графика функции

Определение. Прямая называется асимптотой для кривой у = f (х), если расстояние от произвольной точки, лежащей на кривой, до этой прямой стремится к нулю при движении хотя бы одной из координат этой точки к бесконечности.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции у = f (х), если хотя бы одно из пре­дельных значений или равно или .

Замечание. Непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют.

Определение. Прямая у = k x + b называется наклонной асимптотой графика функции у = f (x) при (х → ), если

f (x) = k x + b + (x), где

Теорема. Прямая у = k x + b является наклонной асимпто­той графика функции у = f (x) при ( ), тогда и только тогда, когда существуют и конечны следующие пределы:

, ,

причем при х → ( х → ) наклонная асимптота называется правой (левой).

Замечание 2. При k = 0 прямая у = b называется горизон­тальной асимптотой, причем при х → (х → ) - правой (левой).

Пример. Найти вертикальные асимптоты графика функции .

Решение. Область определения функции есть , точка точка разрыва второго рода.

Прямая вертикальная асимптота, так как

, .

Пример. Найти наклонные асимптоты графика функции .

Решение. Так как наклонная асимпто­та графика функции имеет вид у = k x + b, то определим параметры k и b:

,

.

Получили k = b = 0, следовательно, у = 0 – горизонтальная асимптота.

Пример. Найти вертикальные асимптоты графика функции .

Решение. Прямая вертикальная асимптота, так как

.

Пример. Найти наклонные асимптоты графика функции .

Решение. Так как областью определения данной функции является

промежуток , то . Наклонная асимпто­та графика функции имеет вид у = k x + b, определим параметры k и b:

,

(при нахождении предела использовали правило Лопиталя),

.

Один из параметров , значит, функция наклонных асимптот не имеет.

Пример. Найти наклонные асимптоты графика функции .

Решение. Так как областью определения данной функции является промежуток , то . Наклонная асимпто­та графика функции имеет вид у = k x + b, определим параметры k и b:

,

.

Таким образом, прямая у = 2 x является наклонной асимптотой графика функции .

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Область определения функции есть , точка точка разрыва второго рода.

Прямая вертикальная асимптота, так как

, .

Найдем наклонные асимптоты графика функции у = k x + b, для чего определим параметры k и b:

,

.

Итак, прямая у = 3 x + 3 является наклонной асимптотой графика функции .

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Функция определена и непрерывна при , т. е. на промежутке . Поскольку функция непрерывна в каждой точке области определения, вертикальные асимптоты могут существовать только на конечных границах области определения.

При имеем

(при нахождении предела использовали правило Лопиталя),

таким образом, прямая не является вертикальной асимптотой.

имеем

,

Следовательно, прямая есть вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты графика функции у = k x + b, для чего определим параметры k и b:

,

,

(при нахождении предела использовали правило Лопиталя).

Следовательно, прямая есть наклонная асимптота.

Упражнения

Найти асимптоты графиков следующих функций:

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6.