2.9. Исследование функций с помощью производных
Определение. Функция f ( x) не убывает (не возрастает) на ( а, b), если для любых точек х1 < х2 из (а, b) справедливо неравенство
f ( x1) ≤ f ( x2) ( f ( x1) ≥ f ( x2))
Определение. Функция f ( x) возрастает (убывает) на ( а, b), если для любых точек х1 < х2 из ( а, b) справедливо неравенство
f ( x1) < f ( x2) ( f ( x1) > f ( x2))
В этом случае функцию f (x) называют монотонной на (а, b).
Теорема.
Дифференцируемая
на (
а,
b)
функция
f
(x)
тогда и
только тогда не убывает (не возрастает)
на (
а,
b),
когда
( х)
≥ 0 (
( х)
≤ 0) при
любом
.
Теорема. Для возрастания (убывания) f ( x) на ( а, b) достаточно, чтобы
(
х)
> 0 (
(
х)
< 0) при
любом
.
Пример.
Найти промежутки монотонности функции
Решение.
Областью определения функции
является промежуток
.
Найдем производную данной функции:
.
Определим промежутки возрастания функции:
Определим промежутки убывания функции:
Следовательно,
функция
убывает на промежутке
и возрастает на промежутке
.
Пример.
Найти промежутки монотонности функции
Решение.
Областью определения функции
является промежуток
.
Найдем производную данной функции:
.
Таким
образом,
разбивают числовую прямую на три
промежутка
,
,
.
Заполним таблицу
|
х |
|
|
|
|
|
Знак
|
+ |
— |
+ |
|
|
Поведение у |
возрастает |
убывает |
возрастает |
|
Следовательно,
функция
убывает на промежутке
и возрастает на промежутках
и
.
Пример.
При
каких значениях коэффициента k
функция
возрастает на всей числовой оси?
Решение. Областью определения функции является промежуток . Функция возрастает, если (x) > 0, поэтому найдем производную данной функции:
.
.
Следовательно, при функция возрастает на всей числовой оси.
Упражнения
Найти промежутки монотонности следующих функций:
1.
3.
|
2.
4.
|
;
5.
При каких значениях коэффициента b
функция
убывает на всей числовой оси?
2.10. Локальный экстремум функции
По теореме Ферма, если у = f (x) имеет в точке x0 локальный экстремум и дифференцируема в точке x0, то (x0) = 0.
Определение. Точка x0 называется стационарной для функции
f (x), если f (x) дифференцируема в точке x0 и (x0) = 0.
Точка x0 - критическая, если (x0) = 0 или (x0) в точке x0 не существует.
Необходимое условие экстремума. Если функция у = f (x) имеет в точке x0 локальный экстремум, то либо х0 — стационарная точка, либо
f не является дифференцируемой в точке x0.
Замечание 1. Необходимое условие экстремума не является достаточным. Например, у = x 3, при x0 = 0 экстремума нет.
Теорема (первое достаточное условие экстремума).
Пусть у = f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0, в которой она является непрерывной.
Если при переходе х через x0 слева направо (x) меняет знак с "+" на "–", то точка x0 является точкой максимума, при перемене знака с "–" на "+ " точка x0 является точкой минимума.
Замечание 2. Если (x) не меняет знака при переходе через точку x0, то x0 не является точкой экстремума.
Теорема (второе достаточное условие экстремума).
Пусть x0 — стационарная точка функции у = f (x), которая имеет в точке x0 вторую производную. Тогда:
1. ( x0) > 0 f имеет в точке x0 локальный минимум;
2. ( x0) < 0 f имеет в точке x0 локальный максимум.
Пример.
Пользуясь
производной первого порядка, найти
экстремумы функции
.
Решение. Областью определения функции является промежуток . Найдем производную первого порядка данной функции:
.
Найдем критические (стационарные) точки:
Таким
образом,
разбивают числовую прямую на три
промежутка
,
,
.
Заполним таблицу
х |
|
– 2 |
|
2 |
|
Знак |
+ |
|
— |
|
+ |
Экстремум |
|
max |
|
min |
|
Следовательно,
–
точка максимума,
–
точка
минимума.
Пример.
Исследовать
на экстремум с помощью второй производной
функцию
.
Решение. Областью определения функции является промежуток . Найдем производную первого порядка данной функции:
Найдем критические (стационарные) точки:
Найдем производную второго порядка:
Вычислим
значения производной второго порядка
в критических точках
;
.
Таким
образом
,
точка
является точкой максимума,
точка
является точкой максимума. О критической
точке х
= 0 ничего определённого сказать нельзя,
поэтому обратимся к первому
достаточному условию экстремума:
определим знаки производной первого
порядка в окрестности
критической точки х
= 0:
;
.
Поскольку
и
значит, в точке х
= 0 функция достигает минимума.
Следовательно, – точка максимума, – точка максимума, х = 0 – точка минимума.
Пример.
Исследовать
на экстремум с помощью второй производной
функцию
.
Решение. Функция определена при
,
т.
е. областью определения является отрезок
.
Найдем производную функции
:
Производная
не существует на границе области
определения функции, т. е. при
;
.
Найдем производную второго порядка:
Вычислим значения производной второго порядка в критических точках.
При функция экстремума не имеет.
Если
,
то
Если
,
то
Следовательно,
если
,
то
–
точка минимума; если
,
то
–
точка максимума.
Упражнения
Пользуясь производной первого порядка, найти экстремумы следующих функций:
1.
3.
|
2.
4.
|
;
;
;
.Исследовать на экстремум с помощью второй производной следующие функции:
5.
7.
|
6.
8.
|
;
;
;
.