Основний закон динаміки обертального руху.

В своїй найбільш загальній формі основний закон динаміки обертального руху зв'язує зміну вектору моменту імпульсу механічної системи (або окремого тіла) з сукупним моментом всіх зовнішніх сил, що діють на систему (моментом усіх сил що діють на тіло)

.

Стосовно твердого тіла, що може обертатись навколо певної осі z, цей закон в проекції на вісь обертання

показує, що кутове прискорення тіла пропорційне сумарному моменту відносно вісі обертання всіх діючих на тіло сил. Причому коефіцієнтом пропорційності є момент інерції тіла відносно вісі обертання.

Цей зв'язок цілком аналогічний основному закону динаміки матеріальної точки, де замість сил треба використовувати моменти сил, замість імпульсу – момент імпульсу, замість маси – момент інерції і замість лінійних – кутові кінематичні характеристики.

Іншим слідством основного закону обертального руху – закону зміни моменту імпульсу – є закон збереження моменту імпульсу – момент імпульсу замкненої механічної системи (системи на яку не діють зовнішні сили, або їх дія скомпенсована) не змінюється з часом

L_з = const.

Це — фундаментальний закон природи. Він є слідством ізотропності простору: інваріантності фізичних законів щодо вибору напряму осей координат системи відліку.

Кінетична енергія обертання.

При повороті тіла під дією сили на нескінченно малий кут точка прикладання сили проходить шлях і робота дорівнює .

Отже робота обертаючого моменту при кутовому переміщенні тіла

.

Робота обертання тіла йде на збільшення його кінетичної енергії

.

Тверде тіло, що обертається зі швидкістю навколо певної осі має запас енергії свого руху – кінетичну енергію

.

Цей вираз аналогічний кінетичній енергії поступального руху, якщо замість маси взяти момент інерції тіла відносно осі обертання, а замість лінійної швидкості – кутову.

Якщо тіло одночасно здійснює поступальний і обертальний рух, то його повна кінетична енергія дорівнює сумі кінетичних енергій

.

Основні величини і співвідношення для поступального і обертального руху.

Поступальний рух		Обертальний рух
Маса		Момент інерції
Переміщення		Кутове переміщення
Швидкість		Кутова швидкість
Прискорення		Кутове прискорення
Сила		Момент сили
Імпульс		Момент імпульсу
Робота		Робота
Кінетична енергія		Кінетична енергія
Основне рівняння динаміки		Основне рівняння динаміки

Приклади розв'язування задач.

Приклад 1. На циліндр масою m₁ = 2 кг, що може вільно (без тертя) обертатися навколо горизонтальної вісі, намотали легку нитку до кінця якої підвісили вантаж масою m₂ = 1 кг. З яким прискоренням буде опускатись вантаж, коли його відпустять?

А наліз і розв’язання.

І спосіб. Без урахування сил тертя на циліндр діють вертикальні сила тяжіння (прикладена до центру тяжіння на його вісі), сила реакції опори (теж прикладена до вісі) і сила з якою вантаж натягує нитку (дотична до циліндру). Циліндр може рухатись тільки обертально навколо горизонтальної вісі z. Рівняння обертального руху циліндру зв’язує моменти відносно осі z усіх діючих сил (причому моменти сил тяжіння і реакції опори, прикладених до самої вісі, дорівнюють 0) з кутовим прискоренням циліндру (див. рис. 1.26)

,

де M_z = T·R – момент сили відносно вісі ; I_z = m₁R²/2 – момент інерції циліндру відносно вісі ; R – радіус циліндру. Або, підставляючи

. (1)

На інше тіло – вантаж діють тільки вертикальні сила тяжіння і сила натягу нитки . Причому ( ). Вантаж рухається поступально вздовж вісі x. Другий закон Ньютона в проекціях на вісь x

. (2)

Якщо нитка не розтягується, лінійне прискорення вантажу a зв’язане з кутовим прискоренням циліндру

.

Підставив в (1) вираз для , отримаємо із (1) і (2) систему рівнянь

для двох невідомих T і a. Розв’язуючи її, знаходим лінійне прискорення вантажу

5 м/с².

ІІ спосіб. Не враховуючи сил тертя, тобто вважаючи систему консервативною, можна використати закон збереження механічної енергії.

(3)

З початку руху (коли кінетична енергія і циліндру і вантажу дорівнювала 0) при опусканні вантажу на висоту h (див. рис. 1.27) потенціальна енергія системи зменшиться

. (4)

При цьому вантаж набуває кінетичну енергію поступального руху, а циліндр кінетичну енергію обертального руху, тобто кінетична енергія системи зростає

Або враховуючи, що лінійна швидкість V вантажу зв’язана з кутовою швидкістю обертання циліндру (нитка не розтягується) і підставляючи момент інерції циліндру

. (5)

Підставляючи (4) і (5) в (3), отримаємо зв’язок між висотою, на яку опускається вантаж с початку руху, і швидкістю, яку він набуває.

. (6)

З іншого боку при рівноприскореному русі пройдений тілом шлях і прискорення зв’язані зі зміною швидкості

. (7)

Із (7) з використанням (6) виражаємо прискорення вантажу

5 м/с².

Відповідь: Вантаж опускається з прискоренням 5 м/с².

Приклад 2. На лаві Жуковського сидить спортсмен і тримає в руках гирі по 10 кг кожна. Відстань від кожної гирі до осі обертання лави l₁ = 50 см. Лава обертається з частотою ₁ = 1 с^–1. Як зміниться частота обертання лави і яку роботу виконає спортсмен, якщо він сведе руки так, що відстань від кожної гирі до осі зменшиться до l₂ = 20 см? Сумарний момент інерції спортсмена і лави відносно осі обертання І₀ = 2,5 кг∙м². Вісь обертання проходить через центр мас спортсмена і лави.

А наліз і розв’язання.

Частота обертання лави Жуковського змінюється в результаті дій, виконаних спортсменом при зближенні гир (вважаємо, що спортсмен не рухається відносно лави). Однак і характер руху гир, і характер взаємодій гир зі спортсменом, і спортсмена з лавою дуже складні. В системі тіл лава – спортсмен – гирі всі сили є внутрішніми і не змінюють ні імпульсу, ні моменту імпульсу системи. Оскільки всі тіла системи здійснюють чисто обертальний рух навколо однієї і тієї ж осі, розглянемо момент імпульсу L_z системи відносно цієї осі z (рис. 1.28).

При переміщенні гир відносно осі обертання на систему лава – спортсмен – гирі діють зовнішні сили: сили реакції осі, лінія дії яких проходить через вісь, сила тяжіння і сила нормальної реакції, паралельні до осі обертання. Моменти всіх цих зовнішніх сил відносно вертикальної осі обертання лави дорівнюють нулю (для лави Жуковського сили тертя в осі можна вважати відсутніми). Отже, момент імпульсу цієї системи відносно вісі обертання z залишається сталим:

L_z1 = L_z2 ,

або

I_z1₁ = I_z2 ₂ ,

де I_z1, I_z2 – моменти інерції системи відносно вісі до і після зближення гир; ₁, ₂ – кутові швидкості системи до і після зближення гир, відповідно.

Якщо вважати гирі точковими масами, то момент інерції всієї системи до зближення гир , а після зближення – , де m – маса кожної гирі. Виражаючи кутову швидкість через частоту обертання за формулою і підставляючи її в останнє рівняння, одержимо

,

звідки

 с^–1.

Так як момент усіх зовнішніх сил відносно вісі обертання дорівнює нулю, то і робота цих сил при обертанні системи дорівнює нулю. Тому кінетична енергія системи змінюється завдяки роботі, що виконує спортсмен

.

При цьому треба оговорити, що гирі рухаються в одній горизонтальній площині і потенціальна енергія їх не змінюється.

Враховуючи, що , одержимо для роботи, яку виконує спортсмен

190Дж.

Відповідь: частота обертання лави Жуковського збільшиться до  ₂ = 2,3 с^–1. Робота, яку виконав спортсмен дорівнює 190 Дж.