Космічні швидкості.

Першою космічною швидкістю називають таку мінімальну швидкість, яку треба надати тілу, щоб воно могло рухатися навколо Землі по круговій орбіті, тобто перетворитися на штучний супутник Землі.

(2-й закон Ньютона);

(R – радіус Землі)

=7,9 км/с.

Другою космічною швидкістю називається найменша швидкість, яку треба надати тілу, щоб воно могло подолати тяжіння Землі і перетворитися на супутник Сонця. В цьому випадку кінетична енергія тіла повинна дорівнювати роботі, що здійснюється проти сил тяжіння:

;

=11,2 км/с

Третьою космічною швидкістю називають швидкість, яку необхідно надати тілу на Землі, щоб воно покинуло межі Сонячної системи, подолавши тяжіння Сонця: ₃ = 16,7 км/с.

Приклади розв'язування задач.

Приклад 1. На візку масою m₁ = 20 кг, який може вільно переміщатися вздовж горизонтальних рейок, лежить брусок масою m₂ = 5 кг. Коефіцієнт тертя між бруском і візком k = 0,2. Брусок тягнуть з силою F, напрямленою паралельно рейкам. Знайти прискорення бруска та візка, якщо сила змінюється за законом де Побудувати графіки залежності знайдених прискорень від часу.

А наліз і розв’язання.

У задачі розглядається поступальний рух двох тіл, між якими діє сила тертя. Наявність її дозволяє припустити, що при деяких значеннях прикладеної сили F брусок і візок будуть рухатися разом з однаковим прискоренням, а при більших значеннях сили F брусок почне обганяти візок, тобто буде ковзати по ньому.

Якщо відносна швидкість бруска (швидкість бруска відносно візка) дорівнює нулю, то сила тертя буде силою тертя спокою і може приймати будь-яке значення від 0 до тобто де N – сила нормальної реакції при дії одного тіла на інше. Якщо , то сила тертя буде силою тертя ковзання

Сила тертя завжди направлена у бік, протилежний відносній швидкості. Тому сили тертя, діючи на візок і брусок, напрямлені так, як показано на рис. 1.10, причому .

Розглянемо сили, що діють на візок. Окрім сили тертя на візок діють вертикальні сила тяжіння, сила нормального тиску бруска і сила нормальної реакції рейок. Сила тертя між візком і рейками, за умовою відсутня.

На брусок окрім горизонтальних сил і діють також вертикальні сили тяжіння і нормальної реакції візка .

Оскільки початкові швидкості відсутні, то характер сил тертя визначається співвідношенням між прискореннями обох тіл:

якщо ;

якщо

причому і – це прискорення візка і бруска відносно Землі. Обидва ці вектори співпадають за напрямком з силою F: прискорення візка виникає під дією однієї сили тертя напрямленої однаково з силою F, прискорення бруска не може бути напрямлено в інший бік тому, що сила тертя не змінює напрям руху на протилежний. Ці прискорення знайдемо з рівняння другого закону Ньютона, записаного для кожного тіла. Оскільки вертикальні сили, що діють на кожне з тіл, скомпенсовані, то рівняння руху для кожного з тіл відразу запишемо в скалярній формі (для проекції на вісь Oх):

(1)

Із системи рівнянь (1) знайдемо значення F, при яких :

У цьому випадку і Тоді

Отже, при

 с

прискорення обох тіл однакові. Розв’язавши систему (1) відносно a, одержимо

(2)

Прискорення обох тіл прямо пропорційні часу і змінюються від 0 до

м/с².

При прискорення тіл різні, але сила тертя має певне значення: Тоді звідки

м/с²; (3)

Прискорення бруска a₂ буде зростати лінійно з часом, починаючи від значення м/с².

Графік залежності прискорення від часу (рис. 1.11) можна побудувати на основі виразів (2), (3). При графік – пряма лінія, паралельна осі абсцис, графік – пряма лінія, яка йде вгору більш круто.

Відповідь: До моменту часу 3,1 с прискорення обох тіл однакові і зростають за законом Після цього прискорення візка м/с, а прискорення бруска зростає за законом . Ці залежності відображені на графіку (див. рис. 1.11).

Приклад 2. На горизонтальній поверхні знаходиться нерухома абсолютно гладка півсфера радіусом R = 90 см. З верхньої точки сфери без початкової швидкості зісковзує мале тіло. З якої висоти h, рахуючи від вершини, тіло зірветься з півсфери?

А наліз і розв’язання.

Тіло до деякої точки на півсфері – точки відриву від поверхні – рухається по дузі кола радіусом R.

З авдяки тому, що поверхня півсфери абсолютно гладка, силою тертя можна знехтувати. На тіло діють тільки сила тяжіння і сила нормальної реакції з боку півсфери (рис 1.12). Рівняння другого закону Ньютона для цієї частини траєкторії має вигляд

(1)

Проекції сил на напрямок x, нормальний до траєкторії, надають тілу нормальне прискорення , де V – миттєва швидкість тіла, яка поступово збільшується. В точці С тіло перестає взаємодіяти з поверхнею півсфери, тобто сила тиску тіла на півсферу і відповідно сила нормальної реакції перетворюються на нуль. Починаючи з цієї точки, тіло рухається тільки під дією сили тяжіння і траєкторія його буде залежати від модуля і напряму швидкості в точці відриву від півсфери. Таким чином, в цій точці нормальне прискорення надається тілу тільки проекцією сили тяжіння і проекція (1) на вісь x має вигляд

.

Як видно з рис.  1.12, Тоді

(2)

Для того, щоб визначити висоту, на якій знаходиться точка відриву, треба знайти зв’язок швидкості тіла при його русі по півсфері з його координатами, тобто з висотою. Такий зв’язок можна встановити, знаючи закони зміни з часом координат і швидкості тіла. Це саме можна зробити, якщо розглядати рух тіла в полі тяжіння Землі. Оскільки система консервативна (сила тяжіння і реакція опори консервативні, а силою тертя нехтуємо), повна механічна енергія тіла залишається сталою, тобто

(3)

При ковзанні тіла по півсфері з вершини до точки C потенціальна енергія його змінюється на де h – шукана висота, яка відраховується від вершини півсфери. Кінетична енергія тіла при цьому зростає на

На вершині півсфери тіло знаходиться в положенні нестійкої рівноваги і швидкість V₀, необхідну для початку руху, можна вважати дуже малою. Тоді, підставляючи знайдені вирази в (3), одержимо

(4)

Рівняння (2) і (4) містять в собі швидкість V_С і висоту h, які відносяться до однієї і тієї ж точки і створюють систему рівнянь, сумісний розв’язок якої дозволяє знайти  м.

Відповідь: h = 0,3 м.