1.3. Механіка твердого тіла Момент інерції.

Моментом інерції матеріальної точки відносно певної осі називають добуток маси цієї точки на квадрат відстані від осі

Моментом інерції системи N матеріальних точок відносно певної осі називають суму добутків мас точок системи на квадрати їх відстаней до даної осі

У разі тіла з безперервним розподілом мас з густиною  ця сума зводиться до інтегралу по всьому об'єму тіла

.

Момент інерції залежить не тільки від форми тіла і розподілу мас в ньому, але й від того, відносно якої саме осі він знаходиться.

Головний момент інерції — момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас системи (тіла).

Моменти інерції однорідних тіл масою m, що мають правильну геометричну форму:

Тіло	Положення осі обертання	Момент інерції
Порожнистий тонкостінний циліндр (обруч) радіусу R	Вісь симетрії
Суцільний циліндр або диск радіусу R	Вісь симетрії
Тонкий стержень завдовжки l	Вісь перпендикулярна стержню і проходить через його середину
Куля радіусом R	Вісь проходить через центр кулі

Коли відомий головний момент інерції тіла, то момент інерції щодо будь-якої іншої паралельної осі визначається теоремою Штейнера:

Момент інерції тіла J щодо довільної осі z дорівнює сумі моменту його інерції J_С відносно паралельної осі, що проходить через центр мас С тіла, і добутку маси m тіла на квадрат відстані d між осями:

.

Наприклад, момент інерції прямого тонкого стрижня завдовжки щодо осі, яка перпендикулярна стрижню і проходить через його кінець (ця вісь відстоїть на від осі, що проходить через центр стрижня):

.

Момент сили.

Моментом сили відносно деякої точки простору називають вектор, що дорівнює векторному добутку радіус-вектора , проведенного із цієї точки в точку прикладення сили, на силу

.

Модуль моменту сили відносно точки O: , де — плече сили — найкоротша відстань між лінією дії сили і точкою О;  — кут між і (рис. 1.23).

Моментом сили відносно осі z — називається скалярна величина , що дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту сили, визначеного відносно довільної точки вісі. Значення моменту не залежить від вибору положення точки на осі z.

Момент імпульсу.

М оментом імпульсу (кількості руху) матеріальної точки відносно деякої точки О називають фізичну величину, що визначається векторним добутком радіуса-вектора матеріальної точки відносно точки О на її вектор імпульсу (рис. 1.24)

.

Моментом імпульсу відносно осі z називається скалярна величина , що дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту імпульсу , визначеного відносно довільної точки О осі. Значення моменту імпульсу не залежить від положення точки О на осі z.

П ри обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі z кожна точка тіла рухається по колу постійного радіусу r_i із швидкістю перпендикулярною радіусу (рис. 1.25). Момент імпульсу окремої частинки відносно центру її траєкторії O_i спрямований вздовж осі обертання за правилом правого гвинта (співпадає з напрямом вектора кутової швидкості ), а його проекція як і довжина дорівнює .

Момент імпульсу всього тіла відносно осі обертання як сума моментів імпульсу окремих частинок

.

Отже кількість обертального руху (момент імпульсу) тіла, що обертається, пропорційна кутовій швидкості тіла і його моменту інерції відносно вісі обертання.