1.2 Постановка задачи

Для выбранного варианта задания следует:

• построить линии влияния (ЛВ) для половины элементов фермы относительно оси симметрии;

• определить максимальные N_max и минимальные N_min (по абсолютной величине) значения усилий в элементах фермы;

• рассчитать характеристику цикла r = N_min/N_max, коэффициенты снижения допускаемых напряжений ;

• подобрать сечение наиболее нагруженного элемента нижнего пояса с учётом ;

• подобрать сечение наиболее нагруженного элемента верхнего пояса с учетом коэффициента  и  (-коэффициент продольного изгиба);

• подобрать сечение стойки (раскоса) с учетом , если в элементе преобладает растяжение, и с учетом  и , если преобладает сжатие;

• спроектировать размеры фасонки по наиболее нагруженному сварному соединению;

• подобрать геометрические параметры сварного соединения стойки (раскоса) с фасонкой.

1.3Пример выбора геометрических параметров сварной фермы

Расчетная схема фермы представлена на рисунке 1.1. Для расчета приняты следующие исходные данные. По нижнему поясу перемещается трехосная тележка (рисунок 1.2), расстояние между осями 1-2 и 2-3 по 1 м, на оси тележки действуют нагрузки: Р_I=200 кН; Р₂=125 кН; Р₃=50 кН.

Р исунок 1.1– Расчетная схема фермы

Рисунок 1.2– Грузовая тележка

Длина фермы L_ф=6 м, высота фермы Н_ф=2 м, расстояние между узлами поясов по 1 м. Ферму требуется спроектировать из стали марки 15ХСНД. Предельное число нагружений для каждого элемента фермы N_пред=210⁶. Пояса, стойки и раскосы следует спроектировать из спаренного неравнобокого уголка. Расположение уголков в сечении элементов фермы и эскиз их приварки к фасонке и поясу представлены на рисунке 1.3, а, б.

1.4 Построение линий влияния

Линией влияния называется график изменения какого-либо силового параметра (опорной реакции, изгибающего момента, продольной или перерезывающей силы) в данном сечении или элементе в зависимости от положения единичного груза на конструкции.

Р исунок 1.3– Элементы сварной фермы: а – сварной узел № 5;

б – поперечное сечение элемента

В качестве примера построим ЛВ для опорных реакций R₁ и R₉ ,а также продольных усилий в стержнях фермы 4-5, 5-13 и 12-13.

Для построения ЛВ реакций R₁ и R₉ составим зависимости R₁ и R₉ от положения единичной нагрузки. Сумма моментов всех сил относительно точки 1:

М₁= - R₉ L_ф+1х=0;  R₉=х/ L_ф; R_9/х=0=0; R_9/х=Lф=1.

Уравнение R₉=х/ L_ф содержит х только в первой степени, т. е. ЛВ R₉ является прямой линией (рисунок 1.4,а).

Сумма моментов всех сил относительно точки 9 позволит построить ЛВ для R₁ (рисунок 1.4, б):

М₉= -( L_ф- х) 1+ R₁ L_ф=0; R₁=1-х/ L_ф; R_1/х=0=1; R_1/х=Lф=0.

Ординаты ЛВ R₁ и R₉ под единичным грузом представляют собой величины опорных реакций от груза Р=1 в выбранном масштабе.

Построение ЛВ для N_4-5. Рассечем ферму на две части сечением I-I через стержни 4-5, 5-13 и 12-13. Расположим груз Р=1 справа от узла 12 и рассмотрим уравнения равновесия левой части фермы. Из трех возможных уравнений равновесия Р_х=0, Р_у=0, М=0 выберем такое, в которое входило бы определяемое усилие N_4-5 и опорная реакция R₁, закон изменения которой был найден ранее.

Р исунок 1.4– Линии влияния опорных реакций R₁ и R₉ и усилий в стержнях 4-5, 5-13,12-13, 4-13

Для стержня 4-5 таким будет уравнение моментов относительно точки пересечения двух других (из разрезанных) стержней, т. е. точки 13. Точка 13 выбрана в качестве моментной точки потому, что в ней сходятся стержни 13-5 и 13-12, т.е. моменты от усилий N_13-5 и N_13-12 равны нулю. По таким же соображениям следует выбирать моментные точки и для др. стержней фермы:

М₁₃= R₁1/3 L_ф+ N_4-51/3 L_ф=0; N_4-5= -R₁ . (1.1)

Из полученного уравнения видно, что при перемещении груза справа от узла 12 усилие в стержне N_4-5 изменяется так же, как опорная реакция R₁ с коэффициентом (-1), т.е. стержень 4-5 сжат. Для построения графика уравнения (1.1) отложим под опорой 1 ординату (-1) в выбранном масштабе и соединим с нулевой точкой под опорой 9, ЛВ при этом является участок графика справа от узла 12 (рисунок 1.4, в), т.к. на этом участке фермы перемещается тележка с грузом.

Для построения левого участка ЛВ единичный груз следует перемещать от узла 1 до узла 13. В этом случае лучше всего рассматривать равновесие правой части фермы (проще будет уравнение равновесия, из которого исключается рассмотрение момента от единичной нагрузки). Для определения усилия N_4-5 составим сумму моментов относительно точки 13:

М₁₃= -R₉2/3 L_ф- N_4-51/3 L_ф=0; N_4-5= -2R₉ . (1.2)

Уравнение (1.2) показывает, что при расположении единичного груза левее узла 13 усилие в стержне 4-5 изменяется так же, как и опорная реакция R₉ с коэффициентом (-2), т.е. стержень 4-5 сжимается.

Для построения графика уравнения (1.2) отложим под опорой 9 ординату (-2) и соединим с нулевой ординатой под опорой 1, ЛВ при этом является участок, соответствующий границам перемещения единичного груза в пределах 1…13 узлов. Соединив прямой линией ординату ЛВ левого участка под узлом 13 с ординатой участка под узлом 12, получим ЛВ в пределах разрезанной панели грузового пояса. Этот отрезок называется переходной линией. Окончательный вид ЛВ N_4-5 показан на рисунке 1.4, в вертикально заштрихованным участком.

Построение ЛВ для N_5-13. В данном случае из возможных уравнений статики удобнее воспользоваться суммой проекций всех сил на ось  (в этом случае оказывается возможным выразить усилие в стержне 5-13 через значение опорных реакций R₁ и R₉).

Рассматривая левую часть фермы, когда подвижная нагрузка находится справа от узла 12, можно записать:

Р_у= N_5-13cos+ R₉=0 или N_5-13= -1,12 R₉.

В окончательном виде с учетом передаточного участка ЛВ представлена на рисунке 1.4,г. Из графика ЛВ N_5-13 видно, что при движении единичного груза справа от узла 12 стержень 5-13 будет сжат, а при движении слева от узла 13 – растянут, т. е. элемент фермы работает при знакопеременных нагрузках.

Аналогично строим ЛВ N_12-13. В данном случае из трех уравнений статики подходит лучше всего сумма моментов относительно точки 5. Стержень 12-13 при движении груза по нижнему поясу будет испытывать растягивающую нагрузку, график изменения которой от Р=1 представлен на рисунке 1.4, д.

При построении ЛВ для стоек 1-2, 3-14, 4-13 и др. следует иметь в виду, что ЛВ усилия в рассматриваемом стержне в пределах той панели пояса, в которой расположено сечение фермы, представляет собой прямую, соединяющую ординаты, расположенные под крайними узлами разрезанной панели, по которой перемещается подвижная нагрузка. Например, для стержней 4-13 при движении «понизу» узловыми точками для передаточной линии будут узлы 13-14, при движении «поверху» – 4 и 5 (см. рисунок 1.4,е). Если в каком-либо узле сопрягаются не более 3 стержней (например, в узлах 12, 2 и 3), для построения ЛВ элементов можно воспользоваться методом вырезания узлов.

Для составления уравнения равновесия при определении усилий в том или ином стержне обычно пользуются методом сечений для вырезания узлов. При этом желательно рассекать не более трех стержней (исходя из возможных уравнений равновесия).

Так, для определения усилий в стержнях 1-2 и 5-12 следует вырезать узлы 2 и 12 соответственно. Следует считать рациональными сечения I-I для построения ЛВ N_4-5, N_5-13 и N_12-12; II-II для N_4-13 и N_13-14; III-III для N_5-12; IV-IV для N_1-2, N_2-3.