- •Дифференциальные уравнения 1 порядка
- •Теорема о существовании единственности решения дифференциального уравнения 1 порядка
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка
- •Уравнения Бернулли
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Дифференциальные уравнения 2 порядка, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n
- •Линейно независимые и линейно зависимые системы функций. Определитель Вронского и его свойства
- •Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка n
- •Линейные однородные ду порядка n с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные ду
- •Линейные неоднородные ду 2 порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
- •Решение систем линейных ду 1 порядка с постоянными коэффициентами способом подстановки
Конспект лекций по
дифференциальным уравнениям
Дифференциальные уравнения
Введение
При изучении некоторых явлений часто возникает ситуация, когда процесс не удаётся описать с помощью уравнения y=f(x) или F(x;y)=0. Помимо переменной х и неизвестной функции , в уравнение входит производная этой функции.
Определение: Уравнение, связывающее переменную х, неизвестную функцию y(x) и её производные называется дифференциальным уравнением. В общем виде дифференциальное уравнение выглядит так:
F(x;y(x);;;...;y(n))=0
Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок входящей в него старшей производной.
–дифференциальное уравнение 1 порядка
–дифференциальное уравнение 3 порядка
Определение: Решением дифференциального уравнения является функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Дифференциальные уравнения 1 порядка
Определение: Уравнение вида =f(x;y) или F(x;y;)=0называется дифференциальным уравнением 1 порядка.
Определение: Общим решением дифференциального уравнения 1 порядка называется функция y=γ(x;c), где (с –const), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Геометрически на плоскости общим решением соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от параметра с.
О
y(x0)=y0
Примеры:
Теорема о существовании единственности решения дифференциального уравнения 1 порядка
Дано дифференциальное уравнение 1 порядка и функцияf(x;y) непрерывна вместе с частными производными в некоторой области D плоскости XOY, тогда через точку М0(х0;y0)D проходит единственная кривая соответствующая частному решению дифференциального уравнения соответствующему начальному условию y(x0)=y0
Через точку плоскости с данными координатами проходит 1 интегральная кривая.
Если не удаётся получить общее решение дифференциального уравнения 1 порядка в явном виде, т.е , то его можно получить в неявном виде:
F(x; y; c) =0 – неявный вид
Общее решение в таком виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.
По отношению к дифференциальному уравнению 1 порядка ставится 2 задачи:
1)Найти общее решение (общий интеграл)
2)Найти частное решение (частный интеграл) удовлетворяющее заданному начальному условию. Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения вида: называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Подставим
умножим на dx
разделим переменные
разделим на
Замечание: обязательно нужно рассматривать частный случай, когда
переменные разделены
проинтегрируем обе части уравнения
- общее решение
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными можно записать в виде:
Отдельный случай !
Проинтегрируем обе части уравнения:
Примеры:
1)
2)нач. условия:
Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка
Определение: Функция называется однородной порядкаn, если
Пример: - однородная функция порядкаn=2
Т.к
Определение: Однородная функция порядка 0 называется однородной.
Определение: Дифференциальное уравнение называется однородным, если- однородная функция, т.е
Заменим
Таким образом однородное дифференциальное уравнение может быть записано в виде:
С помощью замены , гдеt – функция переменной х, однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Замена
- подставим в уравнение
Переменные разделены, проинтегрируем обе части уравнения
Сделаем обратную замену, подставив вместо , получим общее решение в неявном виде.
Пример:
Однородное дифференциальное уравнение может быть записано в дифференциальной форме.
M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, где M(x;y) и N(x;y) – однородные функции одинакового порядка.
Разделим на dx и выразим
Пример:
1)