Основные формулы

F k

Q1

Q2

,

r2

F

E

,

Q

где F

0

– сила, действующая на

точечный положительный заряд

Q0,

помещенный в данную точку поля.

Напряжённость электростатического поля точечного заряда Q на

расстоянии r от заряда

Q

E k

.

r2

Поток вектора напряженности электростатического поля:

а) через площадку dS: d E

E dS En dS ;

б) через замкнутую поверхность S: E E dS En dS ,

где dS dS n

S

S

– вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает

с нормалью n

к площадке; Еn –

проекция вектора E

на нормаль

n к

площадке dS.

Принцип суперпозиции электростатических полей

n

,

E

E

где E

i 1

i

– напряженность поля, создаваемого зарядом Qi .

Плотность зарядов (линейная τ, поверхностная σ, объемная ρ)

dQ , dQ

,

dQ .

dl

dS

dV

1

n

En dS

Qi ;

0

i 1

б) в случае непрерывного распределения зарядов

En dS

1

dV ,

0

S

V

n

где Еn – проекция вектора E на

нормаль к площадке dS; Qi –

n

В случае диэлектрика Qi

и

dV – свободные заряды внутри

i 1

V

замкнутой поверхности S.

Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной

бесконечной плоскостью,

E

,

2

0

0 при r R,

Q

E

k

при r R.

r

2

0

при r R,

2 k

E

при r R.

r

Дано:

Решение

Q1

= 27 мкКл = 27.10-6 Кл

Q2

= -64 мкКл = -64.10-6 Кл

E1

r = 5 м

r1 = 3 м

EА

А

r2 = 4 м

Q3

Q3 = 2 мкКл = 2.10-6 Кл

E2

EA, F-?

В

Q

Q

По принципу суперпозиции электрических полей

E E1 E2 .

E E

Поскольку r2

r2 r2 , то угол САВ = 900. Следовательно,

.

1

2

1

2

По теореме Пифагора E

A

E2

E2

, где E

k

Q1

;

E

2

k Q2 .

1

2

1

r2

r

2

1

2

2

Q12

2

Q2

2

Q12

Q2

2

9

27 10 6 2

64 10 6 2

4

EA k

4

k

4

k

4

4

9 10

2

2

4,5 10

В/м.

r1

r2

r1

r2

3

4

Сила F, действующая на заряд Q3,

F = Q E

A

2 10 6 4,5 104

9 10 2 H .

3

Ответ: EA = 4,5 104 В/м,

F 9 10 2

H.

Дано:

Решение

R = 0,1 м

Y

τ = 0,2 мкКл/м = 0,2.10-6 Кл/м

dE

dEY

dE

E -?

X

0

R

dEX

dl

d

dQ

dQ

dE k dQ k

dl ; dl R d ; d – угол, который опирается на дугу dl.

R2

R2

Разложим вектор

dE

на две составляющие вдоль осей 0X и 0Y:

dE

dEx dEy .

По

принципу

суперпозиции

электрических

полей

E dE dEx

dEy .

Но

dEx 0, т.к.

горизонтальные

вклады в

E

dEy , где dEy dE cos k

R d

cos k

cos d .

R2

R

2

d k

2

cos d k

2 k sin

9

6

E

k cos

sin

2

2 9 10

0,2 10

1

R

R

R

2

R

2

0,1

2

2

Дано:

Решение

d = 0,2 м

1)

2)

ρ = 4 нКл/м3 = 4 10 9 Кл/м3

E2

r1 = 0,05 м

E1, E2 -?

E1

sОСН

r1

d/2

d

s1

r1

d/2

sОСН

s2

sОСН

1. Для применения теоремы Гаусса выберем в качестве замкнутой

поверхности S1 поверхность цилиндра высотой

2 r1 ,

который

делится

срединной плоскостью π пополам.

Qвнутр .

По теореме Гаусса

En dS

(1)

0

E

S1

Вектор

направлен от срединной плоскости π перпендикулярно

пластине. Поэтому En=0 для всех точек боковой поверхности цилиндра и

En=E1=const для всех точек обоих оснований. Тогда формула (1) принимает

вид

Qвнутр

2 E

S

осн

;

1

0

заряд

Qвнутр ,

расположенный

внутри

цилиндрической

поверхности S1,

Qвнутр Vц Sосн 2 r1 .

Tогда

2 E S

S

2 r

r

4 10 9

0,05

56,5 В/м.

осн

осн

1 E

0

1

8,85 10 12 4

1

0

1

2. Пусть S2

– поверхность цилиндра, высота которого больше толщины d

пластины и который делится пополам срединной плоскостью π.

En dS

Q

По теореме Гаусса

внутр .

(2)

S2

0

En = 0 для точек боковой поверхности; En = E2 = const для точек

обоих оснований; Qвнутр= =

d

– заряд пластины, находящийся внутри

Sосн

поверхности S2; ε =1, т.к. оба основания цилиндра находятся вне пластины.

Тогда по формуле (2)

2 E

S '

S '

d

E

d

4 10 9

0, 2

45.2

В/м.

осн

0

2 0

10 12

2

осн

2

2 8,85

Ответ: Е1 = 56,5 В/м,

Е2 = 45,2 В/м.

По

теореме

Пифагора

B ' D

BD2 (BB ')2 ;

BD2 AB2 AD2 ,

тогда B ' D

AB2

AD2 (BB ')2

a2 a2 a2 a 3 .

E

a

3

0, 2 10 6 0,1 1,73

3,9 103 В м .

0

8,85 10 12