Электроёмкость С последовательно соединённых конденсаторов определяется из равенства
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
... |
1 |
. |
|
С |
С1 |
|
|
|||||
|
|
|
С2 |
Сn |
|||||
Общее напряжение |
U |
и |
заряд |
Q системы последовательно |
|||||
соединённых конденсаторов в количестве n:
U=U1+U2+…+Un; Q=Q1=Q2=…=Qn.
Электроемкость С, общее напряжение U и заряд Q системы n параллельно соединённых конденсаторов
С=С1+С2+…+Сn; U=U1=U2= …=Un; Q=Q1+Q2+…+Qn.
Энергия W конденсатора (энергия его электрического поля)
W |
С U 2 |
|
Q2 |
|
Q U |
. |
||
2 |
2 |
C |
2 |
|||||
|
|
|
|
|||||
Объёмная плотность энергии электрического поля
w 0 E2 . 2
Примеры решения задач
Пример 1
Три конденсатора, имеющие электроёмкости С1 = 1 мкФ, C2 = 3 мкФ, С3 = 6 мкФ, соединены последовательно и подключены к источнику с напряжением U = 120 B. Найти напряжение на третьем конденсаторе.
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
C1 = 1 мкФ = 10-6 Ф |
|
|
|
|
C 1 |
C 2 |
C 3 |
||||||||||||||
С2 = 3 |
мкФ = 3 10 |
6 |
Ф |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
С3 = 6 |
мкФ = 6 10 6 |
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
U = 120 В |
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
U3-? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Общую электроёмкость определим из формулы |
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
С |
|
С |
2 |
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
29
С |
|
|
С |
С |
2 |
|
С |
|
|
|
|
|
|
10 6 3 10 6 6 10 6 |
|
|
|
|
2 |
10 6 |
Ф. |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
С |
2 |
С С С |
С |
С |
2 |
|
3 6 |
10 12 6 10 12 3 10 12 |
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
1 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Общий заряд Q равен каждому из зарядов Q1, Q2 и Q3: |
|
|
|
|||||||||||||||||
Q C U 2 / 3 10 6 |
120 8 10 5 |
Кл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Тогда Q3 = 8 10 5 |
Кл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Напряжение на третьем конденсаторе U3 = |
Q3 |
|
8 10 5 |
13,3 |
В. |
|||||||||||||||
|
|
|
C |
6 10 6 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: U3 = 13,3 B.
Пример 2
К конденсатору электроемкостью С1 = 200 пФ, заряженному до напряжения U1 = 100 В и отключенному от источника, подключили параллельно незаряженный конденсатор электроемкостью С2 = 300 пФ. Какое общее напряжение установится на обоих конденсаторах?
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 1 |
|
Решение |
C 1 |
|
||
С1 = 200 пФ = 2 10 10 |
Ф |
|
|
|
|
+ |
- |
+ |
- |
||||||||
С2 = 300 пФ = 3 10 10 |
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
U1 = 100 В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U -? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 2 |
|
+ |
- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
По закону сохранения электрического заряда |
|
|
|
|
|||||||||||||
Qнач = Qконеч |
или C1 U1 |
Cобщ U , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где Cобщ С1 |
С2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда U |
C1 |
U1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U |
2 10 10 100 |
40 |
В. |
|
|
|
|
|
|||||||||
2 10 10 3 |
10 10 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: U = 40 В.
Пример 3
Плоский воздушный конденсатор подключен к источнику напряжения U = 50 В. Какой заряд пройдёт по цепи, если пластины конденсатора сблизить до расстояния, втрое меньше первоначального, и
30
заполнить конденсатор диэлектриком с = 4? Начальная электроемкость воздушного конденсатора 0,6 мкФ.
Дано: |
|
|
Решение |
||
U = 50 В |
|
C |
|
C |
1 |
ε = 4 |
|
|
|
|
|
C = 0,6 мкФ = 0,6.10-6 Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 = 1/3.d1 |
|
|
|
|
|
q -? |
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
U |
|
|
|
|
|||
Заряд q, прошедший по цепи,
q = qкон. – qнач..
Начальный заряд qнач. = С.U, конечный заряд qкон = С1 U. Электроемкость плоского конденсатора:
а) начальная C 0 S , d1
б) конечная |
С |
0 S |
3 0 S . |
|
|
1 |
d2 |
d1 |
|
|
|
|
||
Сравнивая выражения «а» и «б», получим С1 3 C . Тогда
q C1 U C U 3 C C U C 3 1 U 0,6 10 6 3 4 1 50 3,3 10 4 Кл.
Ответ: q = 3,3.10-4 Кл.
Пример 4
Два конденсатора электроемкостями С1=3 нФ и С2=6 нФ соединены параллельно, а последовательно к ним подключен конденсатор С3=8 нФ. Заряд на конденсаторе С1 равен q1=12000 нКл. Найти заряды и напряжения на остальных конденсаторах.
Дано: |
|
|
|
|
|
Решение |
||||
|
||||||||||
С1 |
= 3 нФ = 3.10-9 Ф |
|
|
|
|
C 1 |
||||
С2 |
= 6 нФ = 6.10-9 Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С3 |
= 8 нФ = 8.10-9 Ф |
|
|
|
|
|
|
C 3 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
q1 |
= 12000 нКл = 12.10-7 Кл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
C 2 |
|
|
|||||
q2, q3, U2, U3 - ? |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определения электроемкости конденсатора напряжение U1 на первом конденсаторе
31
U |
|
|
q |
|
12 10 7 |
|
400 В. |
|
|
|
|||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
C |
3 |
10 9 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
Поскольку 1-й и |
2-й конденсаторы соединены параллельно, то |
|||||||||||
U1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= U2. Следовательно, U2 |
= 400 В. Общая электроемкость 2-х параллельно |
||||||||||||||||||
соединенных конденсаторов С1 и С2 |
|
||||||||||||||||||
C |
|
|
C C |
2 |
|
3 10 9 |
6 10 9 |
2 10 9 |
Ф. |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
C |
|
|
|
|
3 |
10 9 |
6 10 9 |
|||||||||||
1,2 |
|
|
|
C |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Общий заряд конденсаторов С1 и С2: q1,2 = C1,2.U1 = 2.10-9.400 = 8.10-7 Кл. При последовательном соединении q1,2 = q3, тогда q3 = 8.10-7 Кл.
Напряжение U |
3 |
|
q3 |
|
8 10 7 |
100 |
В. |
|
C |
8 10 9 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Заряд 2-го конденсатора q2 = C2.U2 = 6.10-9.400 = 2.4.10-6 Кл.
Ответ: q2 = 2.4.10-6 Кл; q3 = 8.10-7 Кл; U2 = 400 В; U3 = 100 В.
Пример 5
Плоский воздушный конденсатор электроемкостью С1=4 10-8 Ф, имеющий заряд q1=8 10-6 Кл, соединен параллельно с таким же конденсатором, но заполненным диэлектриком с =6, заряженным до напряжения U2=100 В. Найти количество теплоты, выделившееся в проводах при соединении конденсаторов.
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
||||
С1 |
= 4.10-8 Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомое |
количество |
теплоты равно |
||||||||||
q1 |
= 8.10-6 Кл |
|
|
|
|
|
|
|
разности энергий конденсаторов до их соединения |
|||||||||||||
ε = 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и после соединения: |
|
|
|||||||||
U2 = 100 В |
|
|
|
|
|
|
|
Q = W1 + W2 - W3, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
||
Q -? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
W1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
– |
энергия 1-го |
конденсатора до |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 C1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
W |
|
C |
|
U 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
соединения; |
|
|
энергия |
2-го |
конденсатора |
до соединения; |
||||||||||||||||
|
2 |
|
2 - |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
S |
; C |
|
|
|
|
S |
C |
|
C |
; |
W |
C |
U 2 |
|
|||||
|
0 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
2 |
1 |
2 . |
|
||||||||||
1 |
|
|
d |
|
|
|
|
d |
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Заряд q2 2-го конденсатора до соединения
q2 = C2.U2 = ε.C1.U2 = 6.4.10-8.100 = 2,4 10-5 Кл.
После соединения конденсаторов общий заряд q = q1 + q2 (по закону сохранения заряда).
32