1.53. Тонкое кольцо радиусом 0,1 м заряжено с линейной плотностью

напряжённость поля в центре кольца.

1.54. Круглая пластина радиусом 0,4 м равномерно заряжена с поверхностной плотностью =2 мкКл/м2. Найти напряжённость электрического поля в точке, лежащей на расстоянии 0,8 м от пластины на перпендикуляре к плоскости пластины, проходящем через её центр.

1.55.Система состоит из тонкого равномерно заряженного кольца радиусом R=5 см и очень длинной равномерно заряженной нити, расположенной по оси кольца так, что один из её концов совпадает с центром кольца. Заряд кольца Q = 40 нКл. Линейная плотность заряда нити

= 20 нКл/м. Найти силу взаимодействия кольца и нити.

1.56.Равномерно заряженная очень длинная нить, расположенная по оси круга радиусом 0,1 м, упирается одним своим концом в его центр. Линейная плотность заряда нити 40 нКл/м. Найти поток вектора напряжённости электрического поля через площадь круга.

1.57.Шар радиусом R = 0,2 м имеет положительный заряд, объёмная плотность которого зависит только от расстояния r до его центра по закону

= 8,85 10-6 (1 - r/R)(Кл/м3). Полагая диэлектрическую проницаемость

шара и окружающего пространства равной единице, найти напряжённость электрического поля на расстоянии r1 = 0,5 м от центра шара.

1.58. Система состоит из шара радиусом 0,1 м, заряженного сферически симметрично, и окружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностью = 2 10-8 r -1 (Кл/м3), где r – расстояние от центра

шара. Найти заряд шара, при котором напряженность электрического поля вне шара не будет зависеть от r. Чему равна эта напряженность? Для шара и окружающей среды принять = 1.

2. ПОТЕНЦИАЛ. СВЯЗЬ НАПРЯЖЁННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ С ПОТЕНЦИАЛОМ

Основные формулы

Потенциал электростатического поля

Wn ,

Q0

где Wn – потенциальная энергия точечного положительного заряда Q0, помещённого в данную точку поля.

Разность потенциалов в двух точках поля

14

1 2 QA ,

где А – работа по перемещению заряда Q из точки с потенциалом 1 в точку

с потенциалом 2 .

Работа А

A Q .

Потенциал поля точечного заряда Q на расстоянии r от заряда

k Qr ,

где k 9 109 м/Ф; ε – диэлектрическая проницаемость среды.

Принцип суперпозиции для потенциалов электростатических полей

n k Qi ,

i1 ri

где ri – расстояние от заряда Qi до точки, в которой вычисляется потенциал

.

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов Q1 и

Q2

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов Q1, Q2, …, Qn

Wn 1 n Qi i ,

2 i 1

где i – потенциал поля, создаваемого всеми n-1 зарядами (за исключением i-го) в точке, в которой расположен заряд Qi.

Связь потенциала φ с напряжённостью E электростатического поля

E grad ,

где grad – операция «градиент», действие которой на функцию φ(x,y,z) в декартовых координатах задаётся уравнением

grad x i y j z k ,

где i , j , k – орты координатных осей x, y, z.

В случае центрально симметричного электрического поля, а также поля цилиндрической симметрии

E r ,

r r

15

где r – расстояние от центра симметрии, или соответственно от оси цилиндрической симметрии до точки наблюдения.

В случае однородного поля

E 1 2 , d

где d – проекция отрезка, соединяющего точки с потенциалами 1 и 2 , на направление силовой линии поля.

Примеры решения задач

Пример 1

Три точечных заряда Q1 = 1 мкКл, Q2 = -2 мкКл, Q3 = 4 мкКл находятся на бесконечно больших расстояниях друг от друга. Найти: а) работу, которую нужно совершить, чтобы расположить заряды в

а) Работа А равна изменению потенциальной энергии: А = |Wnкон - Wnнач|.

Wnнач = 0; Wnкон = W12 + W23 + W13;

16

Напряженность Е поля нити

4 Q k ln r2 . m r1

4 1,76 1011 9 109 5 10 7 ln 0,0,12 4,7 107 м/с.

Ответ: 4,7 107 м/с.

Пример 3

Диэлектрический шар радиусом 0,2 м с 5 равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда 2 мкКл/м3. Найти разность

потенциалов между точками, расположенными на расстояниях r1 = 0,1 м и r2 = 0,4 м от центра шара.

Напряженность электрического поля шара в зависимости от расстояния r до центра шара

Q V 43 R3 – электрический заряд шара.

18

Пример 4

Две тонкие концентрические металлические сферы радиусами R1 = 0,2 м и R2 = 0,4 м имеют заряды Q1 = 200 нКл и Q2 = -160 нКл. Найти потенциалы электрического поля в точках А, В и С, расположенных на расстояниях rA = 0,1 м; rB = 0,3 м; и rC = 0,5 м от общего центра сфер.

Потенциал внутри первой сферы A одинаков во всех точках внутри этой сферы и по принципу суперпозиции для потенциалов

19

«2» во всех точках между сферами.

Потенциал C в точке вне обеих сфер совпадает с потенциалом поля точечных зарядов, равных Q1 и Q2 , помещенных в т. O: C 1 2 , где

Ответ: A 1, 44 104 В, B 2,4 103 В, 7, 2 103 В.

Пример 5

Тонкое кольцо радиуса R = 0,3 м равномерно заряжено с линейной плотностью заряда 0,03 мкКл/м. Найти работу по перемещению

точечного заряда Q = 20 нКл из центра кольца вдоль оси кольца на расстояние h = 0,4 м плоскости кольца.

20

Выберем ось координат, совпадающую с осью кольца с началом в центре кольца. Определим зависимость потенциала кольца от расстояния «Y» до его центра. По принципу суперпозиции для потенциалов

Для всех зарядов dQ кольца расстояние r до точки А, в которой вычисляем потенциал, есть величина постоянная, следовательно,

Работа А по перемещению заряда Q из центра кольца в точку, расположенную на оси кольца на расстоянии h от его плоскости,

Пример 6

Два электрона, находясь первоначально на бесконечном расстоянии друг от друга, движутся навстречу друг другу со скоростями, равными по величине 10 м/с. На какое минимальное расстояние сблизятся электроны?

21