Задачи для самостоятельного решения.
1. Вычислить
вдоль дуги окружности
от точки А(2;0) до точки В(
).
2. Вычислить
вдоль кривой L, заданной уравнением
x2-y2=1,
от точки А(1;0) до точки В(2;
).
3. Вычислить
вдоль кривой x=y2–1
от точки А(-1;0) до точки В(1;
).
4. Вычислить
вдоль кривой x=t-sin t, y=1-cos t от точки А(0;0)
до точки В(2;0).
5. Вычислить
вдоль кривой: x=cos3t,
y=sin3t;
6. Вычислить
вдоль кривой y=cosx от точки А(;-1)
до точки В(0;1).
7. Вычислить
вдоль кривой y=
x;
1
x
e.
8. Вычислить
вдоль кривой
от точки А(0;1) до точки В(2;0).
9. Вычислить
вдоль кривой
10. Вычислить
вдоль кривой y=ex
от точки А(0;1) до точки В(
;2).
В задачах 11 41 вычислить криволинейный интеграл по заданной кривой L.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
от
А (1;0) до В (е;1).
17.
18.
19. Вычислить по
формуле Грина
20. Вычислить по
формуле Грина
L:
контур
АВС, пробегаемый в положительном
направлении; А(3;-3), В(3;3), С(0;0).
21.
точки А(–2;0) до В(1;
).
22.
23.
от
точки А(
;1)
до В(0;2).
24.
от
точки А(2;0) до В(1;1).
25.
от
точки А(1;0) до В(е2;2).
26.
от
точки А(0;2) до В(3;0).
27.
от
точки А(2;1) до точки В(0;1).
28.
от
точки А(1;0) до точки В(e;1).
29.
30.
от
точки А(0;0) до точки В(
).
31.
от
x=2 до x=4.
32.
первая
четверть x2+y2=R2.
33.
прямая
ОА, где О(0;0), А(2;2).
34.
от
точки O(0;0) до точки A(2;2).
35.
от
точки O(0;0) до точки A(2;2).
36.
от
точки O(0;0) до точки A(2;2).
37.
прямая
АВ, где А(0;0),В(4;3).
38.
39.
40.
41.
отрезок
прямой от точки А(1;2) до точки В(3;7).
42. Найти массу
материальной линии х=еу
между точками А и В, для которых ординаты
равны О и
соответственно, если в каждой точке
линии АВ плотность распределения массы
пропорциональна квадрату абсциссы
точки.
43. Вычислить
где
АВ–часть эллипса
лежащая
в первой координатной четверти.
44. Вычислить
где
АВ–часть гиперболической спирали r=
от
до
(r,
–полярные
координаты).
45. Вычислить
где
L–замкнутый контур, состоящий из отрезка
ОА полярной оси длиной “а”, дуги АВ
окружности r=а и отрезка ВО луча
(r,–полярные
координаты).
В задачах 46 51 вычислить криволинейный интеграл по заданной линии L.
46.
L– отрезок прямой от (0;0) до (1;2).
47. L– дуга параболы ОА с вершиной в точке О и осью симметрии Ох, от точки О(0;0) до А(1;2).
48.
L– ломаная ОВА, где О(0;0), В(
3),А(1;2).
49.
L– отрезок прямой от (0;0) до (1;2).
50.
L–
дуга параболы ОА с вершиной в точке О и
осью симметрии Ох, от точки О(0;0) до
А(1;2).
51.
L–
ломаная ОВА, где О(0;0), В(
3),А(1;2).
52. Найти работу А
переменной силы
вдоль
эллипса
от
точки В(-2;0) до С (2;0).
53. Вычислить
L–линия
пересечения поверхности х2+у2=R2
c поверхностью
z= –1.
В задачах 54
57
вычислить криволинейный интеграл
для
заданных контуров интегрирования и
подинтегральных функций.
54. L:y=2x-x2 от точки (1;1) до точки (3;-3); P=y+x2; Q=2x-y.
55. L:y2=9x от точки (0;0) до точки (1;3); P=y2, Q=xy-y2.
56. L–замкнутая ломаная АВСА, где А(-2;0), В(0;0), С(0;1); P=x(y-2), Q= y(2-x).
57. L:x=et, y=e–t, z=t2 (0 t 1); P=xy, Q=zx2, R=xyz.
58. Вычислить
где L ограничивает область: 0
х
1, 0
у
х2.
59. Вычислить с помощью криволинейного интеграла площадь SD фигуры D, ограниченной контуром ОАВСО, если О(0;0), А(1;3), В(0;4), С(-1;2); ОА, ВС, СО – отрезки прямых, АВ – дуга параболы у=4–х2.
60. Доказать, что
значение криволинейного интеграла
не
зависит от вида линии, соединяющей точки
А(-2;-1) и В(3;0), и в случае положительного
ответа найти значение данного интеграла.
61.Вычислить
криволинейный интеграл
как разность значений потенциальной
функции в конечной точке (2;0) и начальной
точке (0;-1) пути интегрирования.
В задачах 62
64
вычислить с использованием формулы
Грина криволинейный интеграл
для
заданных контуров L (пробегаемых в
положительном направлении) и подинтегральных
функций P и Q.
62. L: ломаная АВСА, где А(1;1), В(2;2), С(1;3); P=2(x2+y2), Q=(x+y)2.
63. L: контур,
ограничивающий область D в третьей
координатной четверти, заданную
неравенствами -5
х+у
-3;
Q=x cosy.
64. L: x2+y2=R2; P=–x2y, Q=xy2.
В задачах 65
67,
убедившись, что выражение Pdx+Qdy является
полным дифференциалом, вычислить
криволинейный интеграл
для заданных точек А и В и функций P и
Q.
65.
66.
67.
68. Вычислить
где
S – часть поверхности 2аz=x2+y2
(a0),
вырезанная поверхностью
69. Вычислить
где
S – часть поверхности у=х2–4,
отсекаемая плоскостями z=–2y и z=0.
70. Вычислить
где
L – контур треугольника с вершинами в
точках А(1;0), В(0;1), О(0;0).
71. Вычислить
где
L – верхняя половина эллипса х=а сos t,
y=b sin t, пробегаемая по часовой стрелке.
72. Вычислить
поверхностный интеграл
где
S – поверхность куба
0
х
1, 0
у
1, 0
z
1.
73. Вычислить
L: отрезок прямой от D(0;0)
до А(1;2).
74. Вычислить
L: x2+y2=4x
(x
0).
75. Вычислить
L: y=
от
точки А(4;0) до В(0;-2).
76.
Вычислить
L: x2+y2=4
(x
0, y
0).
77. Вычислить
L:2x+y=2 от А(1;0) до В(0;2).
78. Вычислить
L:4x+y2=4
от А(1;0) до В(0;2).
79. Вычислить L:=cos t, y=2sin t от А(1;0) до В(0;2).
80. Вычислить
L: прямая АВ где А(-1;0) до В(0;1).
81. Вычислить L:x=cos3t, y=sin3t от точки А(-1;0) до В(0;1).
82.
Вычислить
L:x=t
cost, y=t sint, z=t (
).
83. Вычислить
L:
прямая от точки О(0;0;0) дo
В(-2;4;5).
84.Вычислить
L:
дуга окружности
от точки А(3;-6;0) до
В(-2;4;5).
85. Вычислить
L:
периметр АВС,
где А(-1;0) до В(0;2), С(2;0).
86. Вычислить
L:
периметр АВСD, где А(0;0) до В(1;1), С(1;1),
D(0;1).
87.
Вычислить
L:
x=cos t, y=sin t.
88. Вычислить
L:
дуга y=x2
от А(-1;1) до В(1;1).
89. Вычислить
L–прямая
АВ, где А(1;1;1), В(2;3;4).
90. Вычислить
L:
y=x от О(0;0) до А(1;1).
91. Вычислить L: y=x2 от О(0;0) до А(1;1).
92. Вычислить
L:
y=2x2
от А(2;8) до В(4;32).
93. Вычислить
.
94.Вычислить
.
95.Вычислить
.
96. Вычислить
.
97. Вычислить
.
98.Вычислить
.
99. Вычислить
.
100. Вычислить
.
101. Вычислить
.
102. Вычислить
.
103. Вычислить
.
104. Вычислить
О
(0;0) до A
(1;2).
105. Вычислить
O
(0;0), B
(1;0), A
(1;2).
106. Вычислить
OCA,
где О (0;0), C
(0;2), A
(1;2).
107. Вычислить
прямая от O
(0;0) до A
(1;2).
108.Вычислить
109.Вычислить
ABC,
где A(1;1),
B(2;2),
C(1;3).
110.Вычислить
.
111. Вычислить
112.
113.
114. Вычислить
