17. Формула Муавра

формула, содержащая правило для возведения в степень n комплексного числа, представленного в тригонометрической форме Zⁿ=|Z|ⁿ(cosn +isinn )

Правило умножения двух комплексных чисел позволяет получить замечательное соотношение, открытое английским математиком А. де-Муавром.

Найдем квадрат комплексного числа z = r(cos  + i sin ), т.е. результат произведения этого числа на само себя:

z² = z•z = r(cos  + i sin )•r(cos  + i sin ).

По правилу умножения двух комплексных чисел имеем: z² = r²(cos  + i sin )² = r²(cos 2 + i sin 2).

Повторяя n раз операцию возведения в степень числа z, мы получим формулу n-ой степени числа z:

zⁿ = rⁿ(cos n + i sin n),

где n – натуральное число.

Методом математической индукции можно доказать эту формулу. Она представляет собой обобщение формулы, открытой Муавром. Муавр открыл ее для случая, когда модуль комплексного числа z равен 1. Формула Муавра имеет вид: (cos  + i sin )ⁿ = cos n + i sin n,

где n є N.

С помощью формулы Муавра можно вывести многие полезные соотношения, в частности, между тригонометрическими выражениями.

18. Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел

Формула Муавра позволяет найти значения корней любой (n-й) степени в поле комплексных чисел. Под корнем n-й степени из числа z понимают такое число a, n-я степень которого равна z: aⁿ = z. Ограничимся рассмотрением вопроса об извлечении корня n-ой степени из 1 в поле комплексных чисел. Другими словами, будем рассматривать вопрос о решении уравнения zⁿ = 1, где n  N в поле комплексных чисел. Воспользовавшись формулой Муавра, можно доказать, что уравнение zⁿ = 1 в поле комплексных чисел имеет ровно n решений, т. е. корень n-й степени из числа z в поле комплексных чисел имеет ровно n значений. Эти значения корня изображаются вершинами правильного n-угольника, вписанного в единичную окружность, причем точка (0; 1) является одной из вершин этого многоугольника.

Итак, первый корень уравнения zⁿ = 1 изображается вершиной вписанного n-угольника. Второй корень изображается следующей вершиной вписанного n-угольника. Аналогично могут быть найдены другие корни. Наконец, последний n-й корень будет как раз изображаться точкой (0; 1).

19. Многочлены в комплексной области. Условие

тождественности 2 многочленов

Многочленом n-ой степени наз-ся ф-ция вида

P_n(z)=a₀zⁿ + a₁z^n-1 + … + a_n-1z + a_n , где комплексные числа a₀, a₁,…a_n –коэффициенты многочлена, причём a₀≠0, nеZ, n≥0, z – комплексная переменная.

Для того чтобы многочлены Pn(z) и Qn(z) были тождественны, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты при одинаковых степенях z были равны.

20. Основная теорема алгебры (т. Гауса)

Всякий многочлен ненулевой степени имеет по крайней мере один корень (вообще говоря комплексный).

Число z₀ является корнем многочлена P_n(z) в том и только в том случае, когда P_n(z) делится без остатка на двучлен z-z₀? Т.е. P_n(z)=(z-z₀)Q_n-1(z), где Q_n-1(z) – многочлен (n-1) – й степени.

Следствие : многочлен n-й степени имеет ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.