8. Силы в магнитном поле

1. Если в опыте Эрстеда проводник с током действует на магнитную стрелку, то и наоборот магнитное поле стрелки должно действовать на проводник с током, согласно третьему закону Ньютона. Но магнитное поле могут создавать другие проводники. Значит, проводники с током должны взаимодействовать между собой. Эксперименты по взаимодействию проводников с током провел Ампер. В результате установлен закон Ампера: сила, действующая на элемент проводника с током, равна произведению силы тока на векторное произведение длины элемента на индукцию магнитного поля: .

В скалярном виде закон Ампера имеет вид

. 8.1

Здесь α – угол между вектором элемента длины проводника, направленного по току, и силовыми линиями магнитного поля.

Направление вектора силы определяется правилом левой руки: если четыре пальца расположить вдоль проводника в направлении тока, силовые линии входили в ладонь, то отогнутый большой палец укажет направление силы Ампера (рис. 8.1). Вектор силы Ампера перпендикулярен силовым линиям магнитного поля и проводнику. Если поле однородное, проводник прямой, то сила Ампера равна

. 8.2

2. Определим силу взаимодействия двух параллельных проводников с токами J₁ и J₂, находящихся на расстоянии a, которое много меньше длины проводников (рис. 8.2). Пусть первый проводник является источником магнитного поля с индукцией , которая в месте расположения второго проводника направлена за чертеж (sin α=1). На отрезок второго проводника длиной l действует сила Ампера . Подставив формулу индукции, получим

. 8.3

Согласно правилу буравчика и правила левой руки параллельные проводники с током одного направления притягиваются, противоположного направления – отталкиваются.

Ф ормула служит для установления пятой единицы системы СИ – силы тока – ампера. Один ампер это такая сила тока, при которой два параллельных проводника на расстоянии 1 метр, взаимодействуют на один метр длины с силой 2∙10^-7 ньютона.

3. При перемещении проводника с током в магнитном поле силами Ампера совершается механическая работа.

Пусть элемент проводника длиной dl перемещается на малое расстояние dr в магнитном поле с индукцией B. Элементарная работа определяется скалярным произведением силы на перемещение , а сила векторным произведением – . Тогда работа определится смешанным произведением векторов . В смешанном произведении можно циклически менять положение векторов . Векторы длины проводника и перемещения образуют параллелограмм, площадь которого равна их векторному произведению . Вектор площади перпендикулярен поверхности параллелограмма.

Cкалярное произведение вектора индукции на вектор площади это магнитный поток: , где угол α – угол между вектором индукции и вектором площади. Единица магнитного потока вебер, Вб = Тл∙м².

Полная работа равна интегралу от элементарной работы:

. 8.4

Механическая работа при движении проводника в магнитном поле равна произведению силы тока в проводнике на поток сквозь поверхность, заметенную проводником при перемещении.

Так как магнитное поле, например, постоянного магнита, неизменно, то работа совершается не за счет энергии магнитного поля, а за счет работы источника тока. Источник тока поддерживает силу тока в проводнике, противодействуя ЭДС электромагнитной индукции в проводнике.

4. Рамка с током в магнитном поле. Пусть в однородном магнитном поле находится прямоугольная рамка с током силой J, как показано на рис. 8.4. На горизонтальные стороны рамки действуют силы, которые пытаются деформировать рамку в вертикальном направлении. На боковые вертикальные стороны рамки действуют силы, создающие момент сил . Подставив формулу силы Ампера, получим . Произведение длины рамки на ширину является площадью рамки. Произведение силы тока на площадь рамки назовем магнитным моментом рамки . Направление вектора магнитного момента определяется правилом буравчика: если ручки буравчика вращать по току в рамке, то магнитный момент направлен по перемещению буравчика.

Момент сил, вращающий рамку в магнитном поле, равен произведению магнитного момента на вектор индукции поля:

8.5

и ли в векторном виде:

Момент сил поворачивает рамку так, чтобы плоскость рамки стала перпендикулярно силовым линиям, а вектор магнитного момента повернулся к силовым линиям поля. Это положение устойчивого равновесия рамки, при котором силы Ампера растягивают рамку. Сумма сил равна нулю.

Если в магнитном поле находится плоская катушка из N витков площадью S, то её магнитный момент равен

. 8.6

Р амка в магнитном поле обладает потенциальной энергией. Её можно определить через работу момента сил Ампера по повороту рамки: . Полагая постоянную интегрирования равной нулю, получим

или . 8.7

Минимум потенциальной энергии рамки будет в положении равновесия, α=0.

Если магнитное поля является неоднородным, то силы Ампера, действующие на рамку, кроме вращающего момента создают результирующую силу. По формуле связи силы и потенциальной энергии проекция силы равна первой производной от энергии по координате с обратным знаком:

. 8.8

В магнитном поле рамка с током поворачивается так, чтобы вектор магнитного момента был направлен вдоль силовых линий и затем притягивается к области усиления поля.

5. Сила Лоренца. По гипотезе Лоренца сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, есть результирующая сил, действующих на электрические заряды, создающие ток. Поделим силу Ампера на число зарядов в отрезке проводнике длиной l: . Определим силу тока как отношение суммарного заряда ко времени дрейфа заряда от начала до конца проводника . Подставим силу тока и получим формулу

, или в векторном виде . 8.9

Сила Лоренца направлена всегда перпендикулярно вектору скорости частицы и силовым линиям магнитного поля. Для положительно заряженной частицы направление силы определяется правилом левой руки: силовые линии входят в ладонь, четыре пальца по скорости, отогнутый большой палец укажет направление силы. Для отрицательной частицы – наоборот. Сила Лоренца работы над частицей не совершает, следовательно, кинетическую энергию и скорость частицы не изменяет.

6. Движение частиц в однородном магнитном поле. Пусть частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям (рис. 8.8). Сила Лоренца является центростремительной силой. Частица будет двигаться по дуге окружности. Второй закон Ньютона в проекции на нормаль имеет вид . Откуда радиус кривизны траектории равен

. 8.10

Период обращения по окружности . Подставив формулу радиуса орбиты, получим

. 8.11

Период обращения не зависит от скорости движения частицы.

Если частица влетает под углом α к силовым линиям однородного поля, то движение можно представить в виде двух движений: движение с перпендикулярной компонентой скорости по окружности и поступательное движение вдоль силовых линий со скоростью . Траектория будет винтовой линией (рис. 8.9) с радиусом и шагом

и . 8.12

Магнитное поле Земли отклоняет потоки заряженных космических частиц. Навиваясь на силовые линии поля, они отклоняются к полюсам, вызывая там при входе в атмосферу полярные сияния.

7 . Независимость периода обращения заряженных частиц от скорости была использована при создании первого циклического ускорителя заряженных частиц – циклотроне (1931). Он представляет собой два полых полуцилиндра, между которыми приложено переменное напряжение с периодом, равным периоду обращения частицы (рис. 8.10). Магнитное поле перпендикулярно полуцилиндрам.

Пролетев зазор между полуцилиндрами, частица получает порцию энергии , и попадает в полое пространство полуцилиндра. Там нет электрического поля, а магнитное поле по дуге окружности возвращает частицу обратно к зазору. За полупериод обращения в магнитном поле меняется знак напряжения электрического поля, частица опять получает порцию энергии в зазоре. Полная кинетическая энергия к концу разгона за N оборотов равна . Скорость нерелятивистских частиц ограничена радиусом орбиты по формуле (8.10): . Для дальнейшего увеличения скорости релятивистских частиц следует учитывать возрастание массы частиц либо усиливая синхронно магнитное поле (синхротрон), либо частоту ускоряющего напряжения (фазотрон).

Контрольные вопросы

1. Мягкая медная проволока, по которой течет ток, лежит на столе, закрепленная за концы. Включено магнитное поле перпендикулярно столу. Какую форму приобретет проволока?

2. Молния ударила в медную трубку и та сплющилась. Почему это произошло?

3. Для получения сверхсильных магнитных полей по катушкам, собранных из витков большой толщины, пропускали токи огромной силы. Почему иногда такие катушки взрывались?

4. Каков принцип действия двигателя постоянного тока?

5. Как взаимодействуют два параллельных пучка электронов? В чем состоит различие во взаимодействии между двумя параллельными проводниками с током?

6. Рамка с током находится во вращающемся магнитном поле. При каких условиях будет вращаться рамка?

7. Катушка с током висит на нити перед полюсом постоянного магнита. Как будет вести себя катушка при переключении направления тока в катушке?

8. Магнитоэлектрический гальванометр представляет собой рамку с током, помещенную между полюсами постоянного магнита. Почему поворот рамки пропорционален силе измеряемого тока?

9. Заряженный диэлектрический диск вращается относительно оси. Диск помещен в постоянное магнитное поле, перпендикулярное плоскости диска. Действует ли магнитное поле на диск?

10. Кольцо с током находится в постоянном магнитном поле, перпендикулярном плоскости кольца. Укажите силы, действующие на элементы кольца.

11. Объясните происхождение полярных сияний в атмосфере Земли.

12. Два электронных пучка движутся параллельно друг другу. При какой скорости сила магнитного притяжения уравновесит силу электростатического отталкивания. Напишите формулы для сил.

13. В круглой ванночке с электролитом ток течет от центра к электроду на краю ванночки. Магнитное поле направлено вертикально. Укажите направления сил Лоренца, действующих на ионы. Как будет вести себя электролит?

14. К экрану осциллографа сверху поднесли северным полюсом магнит. Как сместится светящаяся точка электронного луча на экране?

15. Электрон, двигаясь горизонтально, влетает в однородные магнитное и электрическое поля, направленные вертикально. Изобразите траекторию электрона.

16. Будет ли действовать магнитное поле на проводник с током, который перемещается со скоростью движения электронов в противоположном направлении?

17. Частица, двигаясь по винтовой траектории в магнитном поле, приближается к «пробке магнитной бутылки», где магнитное поле усиливается. Оттолкнется ли частица от «пробки»? Можно ли удержать плазму в «магнитной бутылке»?

18. При определении удельного заряда электрона методом Буша слегка расходящийся пучок электронов в осциллографической трубке движется в продольном магнитном поле. При каком условии пучок соберется в точку на экране?

19. Придумайте расположение электрического и магнитного полей, чтобы частица в этих полях двигалась прямолинейно с постоянной скоростью (селектор скоростей).

20. Космическая частица, пролетев через свинцовую пластинку, стала двигаться по дуге в два раза меньшего радиуса. Как изменилась скорость частицы? Следует ли учитывать релятивистское изменение массы?

21. В эффекте Холла в пластинке, по которой течет ток, в поперечном магнитном поле появляется разность потенциалов между боковыми сторонами пластинки. Объясните это явление.