7. Магнитное поле

С древности известно притяжение железных предметов к магнитным рудам, ориентация магнитной стрелки в магнитном поле Земли. Возникновение магнитного поля около проводников с электрическим током обнаружил Эрстед в 1819 г по повороту магнитной стрелки при включении тока в проводнике. Началось экспериментальное и теоретическое исследование магнитного поля.

1. Магнитное поле это форма материи, которая проявляет себя действием на постоянные магниты, на проводники с током, на движущиеся электрические заряды.

По аналогии с электростатическим полем вводится силовая характеристика магнитного поля, названная индукцией . Однако, в отличие от электростатического поля, свободных магнитных зарядов в природе не обнаружено. Зато магнитное поле действует на магнитную стрелку, которую можно рассматривать как магнитный диполь, состоящий из северного и южного магнитных зарядов. В магнитном поле на северный заряд стрелки действует сила, направленная вдоль силовых линий, на южный заряд – наоборот. Они создают вращающий момент сил , где B – индукция магнитного поля, p_m – магнитный момент стрелки. Отсюда индукцию магнитного поля можно определить как отношению максимального момента силы к магнитному моменту:

. 7.1

Магнитную стрелку можно заменить небольшой рамкой площадью S из N витков с током, магнитный момент которой равен .

2 . Закон Био-Савара-Лапласа. Экспериментальные исследования магнитных полей проводников с током разных по форме привели к неоднозначным результатам. Например, для прямого длинного проводника индукция убывала обратно пропорционально расстоянию от проводника. Лаплас теоретически установил закон для индукции магнитного поля, создаваемого малым элементом проводника dl с силой тока J. В скалярном виде в системе СИ он имеет вид

. 7.2

Здесь μ₀ = 4π ∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная, которая служит для установления соотношения между электрическими и механическими единицами в формуле, μ – относительная магнитная проницаемость, которая учитывает вклад в магнитное поле молекул среды. Для всех материалов кроме ферромагнетиков она незначительно отличается от единицы. Угол α между радиус-вектором r, проведенным из элемента проводника в точку наблюдения и вектором длины элемента.

Направление вектора индукции определяется правилом буравчика: если вворачивать буравчик в направлении тока, то вектор индукции направлен по вектору скорости конца ручки буравчика в точке наблюдения.

3 . Применение закона Био-Савара- Лапласа и принципа суперпозиции для расчета магнитных полей проводников подтвердило результаты экспериментов. Например, выведем формулу индукции магнитного поля отрезка прямого проводника с током в точке на расстоянии а. от проводника (рис. 7.2). Выделим элемент длиной dl на проводнике. Вектор индукции магнитного поля элемента, а также всех других элементов, согласно правилу буравчика, направлен за чертеж. По принципу суперпозиции . Подставим под знак интеграла формулу закона Био-Савара-Лапласа . Под знаком интеграла три переменных. Перейдем к одной переменной – углу α по соотношениям для сторон треугольника: , , откуда после дифференцирования . Подставим полученные соотношения между переменными и после сокращения проинтегрируем. Получим формулу индукции магнитного поля отрезка прямого проводника

7.3

Если проводник бесконечно длинный (a << l, α₁→0, α→π ), то формула для индукции принимает вид

. 7.4

Как и в опытах Био и Савара индукция магнитного поля убывает обратно пропорционально расстоянию от проводника, а силовые линии поля являются концентрическими окружностями.

4 . Силовые векторные поля характеризуют циркуляцией вектора по некоторому контуру и потоком вектора через поверхность контура. Поток по определению равен интегралу от скалярного произведения вектора индукции по площади контура: . Поток пропорционален числу силовых линий, пронизывающих контур.

Определим циркуляцию вектора индукции для уже известного магнитного поля длинного проводника с током по некоторому контуру, охватывающем проводник. (рис.7.3). Произведение – это проекция вектора элемента длины на вектор индукции, которая равна длине дуги . Подставив формулу индукции поля длинного проводника с током, получим . Циркуляция вектора индукции не зависит от формы контура интегрирования, ни от его размеров, ни от положения проводника внутри контура. Обобщим на произвольное число проводников с током:

. 7.5

Это закон полного тока: циркуляция вектора индукции магнитного поля по произвольному контуру равна произведению абсолютной магнитной проницаемости среды на алгебраическую сумму токов, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром интегрирования.

5. Закон полного тока позволяет в задачах с известным распределением магнитного поля сравнительно легко определить индукцию. Рассмотрим пример, поле тороида – катушки, намотанной равномерно на тор. Пусть тор имеет разрез, воздушный зазор (рис. 7.4). Силовые линии магнитного поля это окружности. Индукция магнитного поля вдоль окружности одинакова как в сердечнике, так и в воздушном зазоре. Это связано с тем, что силовые магнитного поля замкнуты, а при малой длине зазора их густота и индукция почти неизменна. Если длины сердечника и зазора равны l и l₀ , магнитные проницаемости μμ₀ и μ₀ то сумма токов, пронизывающих поверхность внутри окружности равна произведению числа витков на силу тока. Интеграл по замкнутому контуру представим суммой двух интегралов по контуру в сердечнике и зазоре. Таким образом, по закону полного тока . Индукция магнитного поля в сердечнике тороида одинакова по силовой линии и равна

. 7.6

Магнитное поле неоднородное, сильнее около внутренней поверхности сердечника тороида и ослабевает по мере удаления от оси тора.

Умножим среднее значение индукции в формуле 7.6 на площадь поперечного сечения тора. В результате получим формулу для расчета потока вектора магнитной индукции

. 7.7

Обобщим полученный результат на любую магнитную цепь. Введем обозначение , которое назовем магнитным сопротивлением участка магнитной цепи. Произведение силы тока на число витков катушки назовем магнитодвижущей силой. В результате получим уравнение, являющееся законом Ома для магнитной цепи: магнитный поток равен отношению магнитодвижущей силы к магнитному сопротивлению магнитопровода: . Для расчета разветвленных магнитных цепей справедливы законы Кирхгофа.

Если тороид замкнут, то, приняв l₁=0 в формуле 7.6, получим для индукции формулу

. 7.8

Здесь – концентрация витков катушки.

Контрольные вопросы

1. По трубке течет электрический ток. Примените закон полного тока к контурам в форме концентрических окружностей внутри и снаружи трубки. Изобразите график зависимости индукции магнитного поля от расстояния от оси трубки.

2. Две плоские катушки расположены параллельно друг другу на расстоянии, равном диаметру, и в них текут одинаково направленные токи (катушки Гельмгольца). Правда ли, что магнитное поле между ними почти однородное?

3. Рядом с длинным проводником с током расположен контур. Чему равна циркуляция индукции магнитного поля по контуру?

4. Получите формулу индукции магнитного поля на средней окружности тороида, если известна концентрация витков катушки и сила тока.

5. Из большого витка проволоки сделали небольшую катушку. Как изменится индукция магнитного поля в центре витков?

6. Провод сложили вдвое и из него намотали катушку (бифилярная обмотка). Что можно сказать о магнитном поле такой катушки? Почему такие катушки применяют для изготовления магазинов сопротивления?

7. Как ведет себя магнитная стрелка в магнитном поле Земли? Каков характер магнитного поля Земли?

8. Тангенс гальванометр представляет собой плоскую катушку, в центре которой расположен компас. Катушку в магнитном поле располагают так, чтобы стрелка компаса была в плоскости катушки. Как повернется стрелка при включении тока?

9. В опыте Эрстеда магнитная стрелка располагалась рядом с проводником. Как повернется стрелка при включении электрического тока в проводнике?

10. Можно ли разломив магнитную стрелку получить два магнитных заряда: северный и южный?

11. Постоянным подковообразным магнитом приподняли железный брусок. Другим железным бруском замкнули стержни магнита, и первый брусок упал. Почему?

12. Можно ли каким либо образом экранироваться от внешнего магнитного поля?

13. Проводник с током поместили внутрь железной трубы. Как изменится магнитное поле внутри и снаружи? Как изменится ответ, если трубка из сверхпроводящего материала?

14. По широкой плоской ленте течет равномерно распределенный по сечению электрический ток. Определите направление вектора индукции магнитного поля вблизи ленты не её середине. Можно ли магнитное поле считать однородным?

15. Определите циркуляцию вектора индукции однородного магнитного поля по контуру в форме прямоугольника, длинные стороны которого параллельны силовым линиям. Определите интеграл на каждой стороне прямоугольника.

16. Запишите закон Ома для магнитной цепи трансформатора с двумя катушками, если направления токов совпадают.

17. Имеются три катушки с одинаковыми сердечниками, с одинаковыми направлениями токов. Сердечники с обеих сторон замкнуты массивными железными плитами. Изобразите эквивалентную электрическую цепь

18. В круглом стержне, по которому течет постоянный ток, на оси имеется сферическая полость. Докажите с помощью закона полного тока, что в полости магнитного поля нет.

19. Контур интегрирования представляет собой два витка, охватывающие проводник с током. Циркуляция вектора магнитной индукции будет в два раза больше, чем при одном обхвате. Будет ли индукция в два раза больше?

20. Изобразите магнитное поле витка с током. Почему магнитное поле является вихревым?

21. В коаксиальном кабеле ток течет в одном направлении по центральной жиле, а возвращается по проводящей оболочке. Изобразите график зависимости индукции магнитного поля в зависимости от расстояния от оси кабеля.