2. Потенциал электростатического поля

Из курса Механики известно, что поле консервативных сил является потенциальным, то есть работа силы при перемещении тел не зависит от формы траектории и равна изменению потенциальной энергии, , а работа по замкнутой траектории равна нулю.

1 . Исследуем электростатическое поле. Определим работу по перемещению некоторого пробного заряда q₂ в электростатическом поле, создаваемого точечным зарядом q₁ (рис. 2.1). На элементарном участке траектории работа равна . Из рисунка видно, что равна изменению расстояния между зарядами. Полная работа кулоновских сил на пути 1 – 2 определится интегралом:

. 2.1

Как видно, работа не зависит от формы траектории, а только от положения движущегося заряда в начале и в конце движения, На замкнутой траектории (r₂=r₁) работа будет равна нулю. То есть, электростатическое поле является потенциальным полем, а кулоновские силы – консервативными силами.

2. Обобщая для поля произвольного числа зарядов, работу сил электростатического поля по замкнутой траектории следует также приравнять к нулю: . Интеграл по замкнутой траектории от скалярного произведения вектора на элемент длины называется циркуляцией вектора. Итак, для электростатического поля циркуляция напряженности электростатического поля равна нулю. И наоборот, если циркуляция напряженности равна нулю, то такое поле является электростатическим. Это связано с тем, что силовые линии электростатического поля начинаются и кончаются на зарядах и не замкнуты. Иначе циркуляция, определенная по контуру, совпадающим с замкнутой силовой линии, будет отлична от нуля.

3. По формуле связи работы и потенциальной энергии, , из уравнения 2.1 следует, что потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов определяется формулой:

. 2.2

Отношение потенциальной энергии 2.2 пробного заряда q₂ к величине его заряда не зависит от заряда и является энергетической характеристикой источника поля, называемой потенциал:

. 2.3

Соответственно потенциальная энергия заряда равна произведению заряда на потенциал: . Если поле создано точечным зарядом q, то потенциал некоторой точки поля на расстоянии r, определяется формулой

. 2.4

Если поле создается системой зарядов, то по принципу суперпозиции потенциал поля равен сумме потенциалов полей отдельных зарядов:

, или . 2.5

Работу по перемещению заряда в электростатическом поле можно определить как произведение величины заряда на разность потенциалов конечной и исходной точек траектории или на напряжение U:

. 2.6

При движении заряженной частицы в электростатическом поле сохраняется энергия: сумма кинетической и потенциальной энергии постоянна: . Единицей измерения потенциала и напряжения является вольт, .

5. Между двумя характеристиками поля, напряженностью и потенциалом существует связь, которую можно установить, определив элементарную работу при перемещении заряда вдоль силовой линии (рис. 2.2). Работа силы F = q E на пути dl вдоль силовой линии совершается полем за счёт убыли потенциальной энергии взаимодействия: q E dl = – q dj. Отсюда

. (2.7)

Напряженность электростатического поля равна быстроте изменения потенциала вдоль силовой линии и как вектор направлена в сторону уменьшения потенциала. Производная от потенциала по координате, направленной по силовой линии в сторону повышения потенциала, называется градиентом потенциала. То есть .

6. Для наглядности электростатическое поле изображают с помощью эквипотенциальных поверхностей. Это поверхности равного потенциала. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности электростатического поля ортогональны, то есть их касательные взаимно перпендикулярны. Доказать это можно, определив работу поля по перемещению заряда по эквипотенциальной поверхности (рис. 2.2). Так как при перемещении заряда вдоль эквипотенциальной поверхности dj = 0, то левая часть уравнения тоже равна нулю, значит cosa = 0, то есть угол между вектором напряженности и касательной к эквипотенциальной поверхности равен 90 ⁰.

7. Потенциальная энергия двух точечных электрических зарядов может быть определена как произведение одного из зарядов, на потенциал поля второго заряда в точке, где находится первый заряд . Или наоборот: . Возьмем, для симметрии итоговой формулы, по половинке каждого выражения и сложив, получим энергию взаимодействия двух точечных зарядов:

. 2.8

Полученная формула удобна тем, что её можно обобщить на произвольное число электрических зарядов

. 2.8

Потенциальная энергия системы электрических зарядов равна половине суммы произведений заряда на потенциал, созданный всеми остальными зарядами системы в точке, где находится заряд.

Контрольные вопросы

1. Внутри проводящей сферы помещен заряженный шарик. Как изменится потенциал шарика, если проволочкой замкнуть шарик со сферой?

2. Внутри проводящей сферы помещен заряженный шарик. Как изменится потенциал шарика, если проволочкой заземлить сферу.

3. . Внутри заряженной сферы помещен незаряженный шарик. Как изменится потенциал шарика, если проволочкой соединить шарик со сферой.

4. Электростатическое поле создано двумя одинаковыми разноименными зарядами. Из точки, находящейся посередине между ними, начинает движение третий заряд. Как изменится его скорость на бесконечно далеком расстоянии.

5. Два протона летят из бесконечности навстречу друг другу с одинаковой скоростью. При каком условии расстояние между ними станет наименьшим?

6. Два протона летят из бесконечности навстречу друг другу с одинаковой скоростью. Скорости смещены на некоторое расстояние. Изобразите траектории протонов. Как меняется положение центра масс протонов.

7. Силовые линии электрического поля являются концентрическими окружностями.

Определите циркуляцию напряженности. Является ли это поле электростатическим?

8. В электростатическом поле потенциал вдоль силовой линии растет по линейному закону. Определите закон изменения напряженности. Какое это поле?

9. Электрический заряд равномерно распределен по поверхности сферы. Изобразите график зависимости потенциала от расстояния от центра. Равен ли нулю потенциал внутри сферы, есть ли там электростатическое поле?

10. Можно ли создать электростатическое поле, силовые линии которого параллельны, а густота силовых линий возрастает в перпендикулярном направлении. Определите, равна ли нулю циркуляция напряженности?

11. В однородном электростатическом поле между двумя плоскостями напряженность постоянна. По какому закону изменяется потенциал между пластинами?

12. Электрон влетает в электрическое поле между двумя заряженными разноименно плоскими сетками под углом. Изобразите траекторию электрона. Может ли электрон вылететь из поля?

13. Птица садится на провод высоковольтной линии электропередачи. Может ли её убить высокое напряжение?

14. Сравните поле заряда около поверхности заземленной пластины с полем двух одинаковых разноименных зарядов, находящихся на вдвое большем расстоянии. Найдите для поля двух зарядов поверхность нулевого потенциала.

15. Потенциал внутри шара, заряженного по объёму, зависит от расстояния от центра по закону . Найти распределение напряженности электрического поля в шаре. Как распределена плотность электрического заряда?

16. Потенциал электрического поля внутри заряженной пластины зависит от координаты от средней плоскости . Найти распределение напряженности в пластине.

17. Почему около столба высоковольтной линией электропередачи между ногами возникает разность потенциалов?

18. Легкий заряженный шарик висит в поле двух горизонтальных пластин. Изобразите силовые линии результирующего поля и представьте их натянутыми резиновыми нитями. Как нити действуют на шарик?

19. Электрическое поле Земли направлено вниз с напряженностью 130 в/м. Почему напряжение между ногами и головой в 200 В не убивает человека? Как измерили это напряжение? Если Земля это одно заряженное тело, то где другое, положительно заряженное тело?

20. Почему возникают молнии?