Асиметрія і ексцес як характеристики форми ряду розподілу Асиметрія як характеристика кривої розподілу.

До числа характеристик ряду розподілу належать і показники, що характеризують його „скошеність” – асиметричність. Це коефіцієнти асиметрії.

Для розрахунку цих показників використовуються методом моментів. Моментом розподілу називається середня арифметична з відхилень змінних ознаки Хі від певної величини А в степені k.

Порядок моменту визначається величиною К. В залежності від вибору постійної величини А розрізняють моменти початкові, якщо А=0, умовні, якщо А – будь-яке число, і центральні, якщо А=.

Для визначення коефіцієнта асиметрії користуються нормованим центральним моментом третього порядку

.

В нормальному розподілі в силу його симетричності .

При правосторонній асиметрії As>0, а при лівосторонній As<0. Спрощено коефіцієнти асиметрії розраховують за формулами:

Рис.1. Асиметрія розподілу

Тут: a – правостороння асиметрія (As>0); b – симетрія (нормальний розподіл); с - лівостороння асиметрія (As<0).

Ексцес як характеристика кривої розподілу.

До числа характеристик ряду розподілу належать і показники, що характеризують його „крутість” – гостровершинність і плосковершинність. Це коефіцієнти ексцесу. Для розрахунку цих показників користуються методом моментів. Моментом розподілу називається середня арифметична з відхилень змінних ознаки Хі від певної величини А в степені k: . Порядок моменту визначається величиною К. В залежності від вибору постійної величини А розрізняють моменти початкові, якщо А=0, умовні, якщо А – будь-яке число, і центральні, якщо А=.

Показник, який вимірює ступінь крутизни, зосередженість сукупності ближче до центру розподілу, називається ексцесом. Розрізняють ексцеси: нормальний, вище нормального і нижче нормального. Ексцес також вимірюють за допомогою центрального моменту четвертого порядку  . В нормальному розподілі , тому показником ексцесу вважають .

Якщо , то ексцес вище нормального, а якщо , то ексцес нижче нормального.

Ексцес характеризує крутизну, тобто гостровершинність або плосковершинність розподілу. При гостро вершинному розподілі , при плосковершинному .

Рис. 2. Ексцеси розподілу

Тут: a – ексцес нижче нормального (посковершинний); b – нормальний ексцес; с - ексцес вище нормального (гостровершинний).