Lektsiyi_Ukhanska_1

ВСТУП

Під задачами оптимізації підрозумівають будь-які задачі, переважно економічного характеру, в яких шукаються екстремуми функцій або функціоналів. Суть цих задач полягає в тому, щоб із множини можливих варіантів досліджуваного процесу вибрати за деякою ознакою найкращий (оптимальний) варіант.

Задачі оптимізації можна поділити на такі види:

-задачі математичного програмування;

-задачі варіаційного числення;

-задачі оптимального управління.

Кожна велика система – фінансові чи банківські організації, великі промислові

підприємства, військові з’єднання, системи охорони здоров’я, освіти тощо – функціонує заради досягнення певної мети. Усе те, що відбувається в системі, і ступінь досягнення мети, може бути описане математично. І одним з основних інструментів дослідження таких задач ( задач оптимізації) є математичне програмування.

Ця функція називається цільовою функцією або функцією мети.

Завдання математичного програмування полягає в тому, щоб знайти екстремум функції z при обмеженнях, які накладені на змінні x j :

нерівностей (2) називається системою обмежень або системою умов задачі.

Зауважимо, що при складанні математичної моделі досліджуваного процесу необхідно дотримуватися загального правила: врахувати все істотне, суттєве в даному явищі чи процесі і відкинути все другорядне.

Множина точок ( x1 , x2 ,..., xn ), що задовольняє систему обмежень (2), називається

допустимою множиною або планом задачі математичного програмування. Сукупність усіх розв’язків системи (2), тобто множина всіх планів, утворює область існування планів або область визначення задачі математичного програмування. Допустима множина ( план ), що надає цільовій функції (функції мети) екстремального значення,

1

називається оптимальним. Саме оптимальний план і є розв’язком задачі математичного програмування.

Перехід від постановки задачі до її розв’язку здійснюється за таким алгоритмом:

1.Побудова математичної моделі задачі – визначення факторів, що вважаються невідомими; побудова системи обмежень; побудова цільової функції на основі умови оптимізації.

2.Вибір методу розв’язку задачі.

3.Коригування математичної моделі.

4.Дослідження отриманого розв’язку і прийняття рішення.

Класифікація задач математичного програмування.

Класифікація задач математичного програмування залежить від критерію, згідно з яким вона проводиться, причому з погляду різних математичних критеріїв та сама задача може належати одночасно до декількох класів, оскільки кожен критерій підкреслює лише одну якість задачі на противагу деякій іншій.

Два основні класи становлять лінійні і нелінійні задачі математичного програмування. Критерієм лінійності задачі є лінійність цільової функції та всіх обмежень. У всіх інших випадках задача буде нелінійною. Перевага лінійних задач у тому,

що вони завжди розв’язуються й існують універсальні методи їх розв’язування. Загальних методів розв’язування нелінійних задач не існує. Лише для окремих типів цих задач розроблено спеціальні методи пошуку розв’язку.

Задачі математичного програмування поділяють на дискретні та неперервні.

Дискретні – це задачі, в яких усі або деякі змінні набувають дискретних значень. У деяких задачах умову дискретності кожної змінної можна подати умовою цілочисельності цих змінних. Методи розв’язування таких задач увійшли до розділу дискретного або

цілочисельного програмування, який належить до нелінійного програмування. Якщо всі змінні задачі можуть набувати всіх значень із деякого інтервалу числової осі, то задача буде неперервною.

Важливим є критерій, за яким задачі поділяють на детерміновані та стохастичні.

Детерміновані – це задачі, які не містять випадкових змінних і параметрів, що підлягають статистичним розподілам. Якщо ж випадкові явища становлять суть деякого процесу, то відповідна математична модель буде стохастичною, а відповідний розділ математичного програмування, що займається розв’язуванням таких задач, називається стохастичним програмуванням.

2

Крім того, задачі математичного програмування можна поділити на однокрокові та багатокрокові ( або динамічні ). Методи розв’язування багатокрокових задач об’єднано в розділ, що називається динамічним програмуванням.

3

РОЗДІЛ 1. ЛІНІЙНЕ ПРОГРАМУВАННЯ.

§ 1.1. Загальна постановка задачі лінійного програмування.

Розглянемо задачу про визначення оптимального асортименту продукції. Підприємство може виготовляти два види виробів (№ 1 і № 2), використовуючи для

їх виготовлення обмежену кількість матеріалів ( виду А і В відповідно не більше 1650 і 1200 кг ) і обладнання ( у кількості 2060 станко-годин).

Необхідно визначити, скільки виробів №1 і №2 повинне виготовити підприємство, щоб отримати найбільший прибуток, при умові, що виробів №1 має бути виготовлено не менше 20, а виробів №2 – не менше 15 одиниць.

Щоб розв’язати поставлену задачу, необхідно побудувати її математичну модель. Нехай x1 , x2 - відповідно кількість виробів №1 і №2, які повинне виготовити підприємство

(шукані невідомі). Очевидно, що x1 , x2 повинні задовольняти умови

Очевидно, що шукані невідомі повинні задовольняти умову невід’ємності.

Записані нерівності виражають всі умови обмежень, які накладаються на x1 і x2 .

Будь-яка пара цілочисельних значень x1 і x2 , яка задовольняє системі цих нерівностей, визначає один із допустимих варіантів плану підприємства по випуску виробів №1 і №2. Таких допустимих варіантів буде безліч. Але нам, відповідно до умови задачі, необхідно

4

вибрати такий варіант плану, для якого сумарний прибуток буде найбільшим. Цей варіант

рентабельність підприємства: запланувати виробництво продукції так, щоб при використанні наявних ресурсів (сировини, електроенергії, виробничих потужностей, праці та ін.) загальний прибуток від виробництва був найбільшим.

Загальна кількість одиниць i –го ресурсу, що використовується у виробництві відповідно

5

Загальний прибуток від виробництва продукції дорівнює

досягає максимуму за умов

У реальних задачах лінійного програмування запис лінійної форми й умов обмежень неоднаковий: в одних задачах потрібно знайти мінімум лінійної форми, в

іншихмаксимум; в одних задачах обмеження задані у вигляді системи лінійних нерівностей, в других – у вигляді рівнянь, в третіх – частина обмежень є у вигляді нерівностей, а інша частина обмежень має вигляд лінійних рівнянь. Також не у всіх задачах вимагається невід’ємність змінних.

Означення 1. Загальною формою задачі лінійного програмування є задача на знаходження екстремуму (мінімуму чи максимуму) лінійної цільової функції при лінійній системі обмежень, що включає як рівності, так і нерівності обох знаків, і при невідомих змінних, з яких одні пов’язані умовою невід’ємності,

інші – умовою недодатності, а на знак третіх ніяких умов не накладено:

6

Означення 2. Будь-який вектор X (x1 ,..., xn ) , компоненти якого задовольняють умови

(1.2′ )-(1.3′ ), називається планом (допустимим розв’язком) задачі лінійного програмування.

Множина всіх планів задачі лінійного програмування утворює область існування

планів (область допустимих розв’язків).

Тоді систему обмежень (1.2′)-(1.2′′′) можна записати у вигляді

P1 x1 P2 x2 .... Pn xn , , P0 .

Означення 3. План Х називається опорним планом (базисним допустимим розв’язком),

утворюють лінійно-незалежну систему (максимальне число таких векторів не більше m).

Означення 4. Опорний план, вільні змінні якого дорівнюють нулю, а базові змінні дорівнюють значенням bi , називається базовим планом.

7

Означення 5. Опорний план називається невиродженим, якщо він містить рівно m

додатних компонент, і виродженим, якщо додатних компонент є менше, ніж m.

Означення 6. План, що надає цільовій функції максимального значення називається

оптимальним.

§ 1.2. Канонічна форма задачі лінійного програмування.

Записана модель задачі лінійного програмування є незручною для дослідження.

Тому загальні властивості та методи розв’язування вивчають, записавши задачу лінійного програмування у канонічній формі, яка має вигляд

-система обмежень зведена до системи рівностей;

-базова невідома входить лише в одне рівняння системи обмежень з коефіцієнтом 1,

причому немає рівностей, у які б не входила хоча б одна базова невідома;

-вільні члени системи обмежень невід’ємні;

-оптимізуюча форма залежить тільки від вільних невідомих.

Будь-яку задачу лінійного програмування можна звести до канонічної форми:

1.Якщо необхідно знайти minL, то врахувавши. що minL=-max(-L), задача зводиться до пошуку максимуму лінійної форми -L.

2.Якщо в системі обмежень є нерівності виду

8

x1 , x3 , x4 0

1. Перейдемо до задачі на знаходження максимуму

L1 2x1 3x2 4x3 x4 max

9