Тема 5. Середні величини

Для кількісної характеристики всієї сукупності як єдиного цілого потрібно визначити ряд узагальнювальних статистичних показників. Серед них важлива роль належить середнім величинам.

Середньою величиною в статистиці називають узагальнювальний показник, що характеризує типовий розмір ознаки в якісно однорідній сукупності. Середню величину обчислюють діленням загального обсягу ознаки на кількість одиниць, що мають цю ознаку. Якщо, наприклад, відомим є фонд місячної заробітної плати і кількість працівників за місяць, то середню місячну заробітну плату можна визначити діленням фонду заробітної плати на кількість працівників.

Середня величина — це узагальнююча міра варію­ючої ознаки, що характеризує її рівень у розрахунку на одиницю сукупності. Умовами застосування се­редніх величин є: наявність якісно однорідної су­купності та достатньо великий їі обсяг.

У статистичній практиці використовують декіль­ка видів середніх: середня арифметична, середня гар­монічна, середня геометрична, середня квадратична і т. д. Кожна із зазначених середніх може набувати дві форми: просту і зважену. Якщо середня обчис­люється за первинними (незгрупованими) даними, застосовується проста форма, якщо за вторинними (згрупованими) — зважена.

Використання кожного виду середніх залежить від двох обставин, по-перше, від характеру індиві­дуальних значень ознаки

У статистичному аналізі середні величини широко застосовуються, тому що саме в них виявляються закономірності І тенденції розвитку масових суспільних явищ, що варіюють як у часі, так і в просторі. Так, закономірність зростання продуктивності праці в сільському господарстві знаходить своє .вираження в зростанні середнього виробництва продукції з розрахунку на одного працівника, зайнятого в сільськогосподарському виробництві, а вростання валових зборів - у зростанні середньої урожайності сільськогоспо­дарських культур тощо. Середня величина є показником іменованим і характеризує одним числом значення досліджуваної ознаки для всіх одиниць сукупності. В ній відображується об'єктивний рівень соціально-економічних явищ і процесів. У разі визначення середньої величини випадкові коливання, що мають різну спрямованість, внаслідок дії закону великих чисел, взаємно зрівноважуються, погашаються. В середній величині відображується основна закономірність, необхідність, вплив загальних умов, характерних для даної сукупності. Середня величина дає узагальню вальну характеристику досліджу­ваного явища за однією ознакою, що відображує одну з найважливіших його сторін. Відтак, щоб здійснити всебічний аналіз досліджуваного явища, слід побудувати систему середніх величин за рядом взаємопов'язаних і таких, що доповнюють одна одну, істотних ознак.

Середня величина має відображувати справді типове й закономірне в досліджуваних суспільних явищах. Тому, визначаючи її, треба дотримуватися таких умов:

1. Ознака, за якою обчислюють середню, має бути істотною. В противному разі буде отримано неістотну або спотворену середню.

2. Середню потрібно обчислювати тільки за якісно однорідною сукупністю. Тому безпосередньому обчисленню середніх має передувати статистичне групування, що дає змогу поділити досліджувану сукупність на якісно однорідні групи. У зв'язку з цим науковою основою методу середніх величин є метод статистичних групувань.

3. Розрахунок середньої величини має ґрунтуватися на обсязі усіх одиниць даного типу або досить великої сукупності об'єктів, щоб випадкові коливання взаємно зрівноважували один одного і проявилася закономірність, типові і характерні розміри досліджуваної ознаки.

4. Слід зберігати незмінним загальний обсяг ознаки в сукупності у разі заміни індивідуальних його значень середнім значенням (так звана визначальна властивість середньої).

Залежно від характеру ознаки, що усереднюється, і наявності вихідної статистичної інформації в статистиці використовуються різні види середніх величин, серед яких найбільш поширені такі: середня арифметична, середня гармонічна, середня квадратична і середня геометрична. Поряд з переліченими видами середніх величин у статистичній практиці застосовують також середню хронологічну і так звані структурні середні: моду, медіану та інші. Вибір виду середньої визначається завданнями і метою дослідження, а також наявною статистичною інформацією.

Кожну середню можна визначити як просту, коли значення варіант спостерігаються в сукупності тільки один раз або однакову кількість разів, і як зважену, коли значення варіант повторюються різну кількість разів.

Уведемо такі позначення і поняття для середніх:

- середнє значення досліджуваної ознаки;

х - окремі значення усереднюваної ознаки;

п - кількість одиниць досліджуваної сукупності;

f- частота повторень (вага) варіант;

W= xf- обсяг явищ.

Ознаку, за якою знаходять середню, називають усередненою, а величину ознаки кожної одиниці сукупності - варіантою, або значенням досліджуваної ознаки. Частоту повторень варіант сукупності називають статистичною вагою.

Середня арифметична - найпоширеніша форма середньої.

Середня арифметична проста (незважена) - це частка від ділення суми індивідуальних значень ознаки на їхню загальну кількість. Її обчислюють за формулою або за формулою простішої форми: (для зручності і спрощення запису знак замінено знаком ).

Середню арифметичну просту застосовують тоді, коли є дані про окремі значення ознаки і їхню кількість у сукупності.

Якщо у хронологічному ряду наведені моментні показники, то для обчислення середньої вони замі­нюються півсумами значень на початок і кінець пе­ріоду. Якщо моментів більше двох і інтервали між ними рівні, то середня обчислюється за формулою середньої хронологічної:

, де п — число вивчених моментів.

Приклад. У комерційному банку сума кредитор­ської заборгованості на початок кожного кварталу становила, млн.гр.од.: 1.01 — 20; 1.04 — 26; 1.07 — 32; 1.10 — 29; 1.01 наступного року — 22. Се-редньоквартальна сума кредиторської заборгова­ності

Якщо дані згруповані, то використовують серед­ньозважену арифметичну

або , де f_j— частота; d_j — частка j-ї групи. При цьому , а .

Так, за результатами складання іспиту студентами групи (табл. 3.1), середній бал оцінок становить 3,8.

Таблиця 3.1

Оцінка знань студентів, балів	xj	5	4	3	2	Разом
Кількість оцінок	fj	8	12	6	4	30
Питома вага оцінок, %	dj	26,7	40,0	20,0	13,3	100

На основі частот

на основі часток = 5 * 0,267+4 *0,40+3*0,20+2*0,133 = 3,8 бала.

Осередненню підлягають не тільки окремі значення варіант, а й їх групові середні , тоді вагою буде частота (частка) кожної групи:

Обчислена в такий спосіб середня з групових се­редніх називається загальною.

Вагою може бути також абсолютна величина, яка логічно пов'язана з осереднюваним показником. Вибір ваг ґрунтується на логічній формулі показни­ка. Оскільки середня величина обчислюється з роз­рахунку на одиницю сукупності, то вага завжди зна­ходитиметься у знаменнику логічної формули. Наприклад, при визначенні середньої суми витрат на одне рекламне повідомлення вагою буде кількість рекламних повідомлень. При обчисленні середньої суми витрат на одного рекламодавця вагою буде кількість рекламодавців.

Отже, середню арифметичну зважену визначають із значень варіюючої ознаки з урахуванням ваги. Її застосовують в тих випадках, коли значення ознаки подано у вигляді варіаційного ряду, в якому чисельність одиниць у варіантах неоднакова. Формула середньої зваженої має вигляд:

За аналогічною формулою обчислюють загальну середню із групових середніх якщо чисельність одиниць у групах є неоднаковою:

З формули середньої арифметичної зваженої видно, що вона принципово не відрізняється від простої середньої арифметичної. Тут додавання f разів того самого варіанту (х) замінюється множенням його на кількість повторень (частоту f).

При розрахунку середньої арифметичної зваженої вагами, можна використовувати відносні показники структури, виражені у процентах або коефіцієнтах (частках). Методика визначення середньої і кінцевий результат при цьому не змінюються.

Якщо частоти виражено у процентах, то формула середньої арифметичної зваженої набуває такого вигляду:

де - питома вага кожної частини в загальному обсязі всіх частот (у процентах). Оскільки для всієї сукупності , то формулу можна записати так:

Якщо частоти виражено в коефіцієнтах (частках), то формула середньої спрощується:

Для інтервальних варіаційних рядів розподілу, в яких значення ознаки дано в межах «від - до», середню арифметичну зважену визначають у такій послідовності. Спочатку інтервальний ряд розподілу перетворюють на дискретний. З цією метою для кожного інтервалу знаходять його середину (центр). Серединне значення інтервалу звичайно визначають як півсуму його нижньої і верхньої меж. Наприклад, для інтервального ряду розподілу ТОВ за урожайністю ячменю, (ц/га): 22-24; 24-26; 26-28 серединами інтервалів відповідно є.(ц/га): 23((22+24)/2); 25((^24+26)/2); 27((^26+28)/2),

Якщо інтервали мають нечіткі межі, з так званими відкритими межами (перший інтервал - «до», а останній - «понад»), то для визначення середнього значення потрібно встановити умовні межі цих інтервалів. Звичайно в цих випадках роблять так: для першого інтервалу беруть величину другого інтервалу, а для останнього - величину передостаннього інтервалу. Покажемо перехід від інтервалів з відкритими межами до інтервалів із замкненими межами на такому прикладі поділу ТОВ за середньодобовим приростом відгодівельного поголів'я свиней (г):

відкриті інтервали До 350 350-400 400-450 450-500 понад 500

замкнені інтервали 300-350 350-400 400-450 450-500 500-550

Знайшовши середини інтервалів, середню арифметичну зважену обчислюють так, як і в дискретному ряду розподілу: значення варіант множать на частоти, а віднайдену суму добутків ділять на суму частот.

Середня арифметична має деякі математичні властивості, які можна використати, щоб спростити її розрахунки. Основні властивості середньої арифметичної такі:

1. Сума відхилень окремих значень ознаки від середньої, перемножених на ваги (частоти), дорівнює нулю:

- для простої середньої;

- для зваженої середньої.

2. Якщо усі значення варіант збільшити (або зменшити) у ту саму кількість разів (h), то середня (х) збільшиться (або зменшиться) у стільки ж разів:

тобто середня зменшилася в h разів.

3. Якщо з усіх значень варіант (х) відняти або додати до них ту саму постійну величину (хо), то середня ( ) зменшиться або збільшиться на таку саму величину (х_о):

тобто середня зменшилася на постійне число Хо.

4. Якщо частоти (ваги) поділити або помножити на будь-яке постійне число (k), то середня не зміниться:

тобто значення середньої не змінилося.

5. Добуток середньої на суму частот дорівнює сумі добутків варіант на частоти:

Ця рівність випливає з певної властивості середньої арифметичної, згідно з якою при зрівнянні варіант і наданні їм однакового значення шляхом заміни їх середнім значенням, незмінним залишається загальний обсяг ознаки.

6. Загальна середня дорівнює середній із часткових середніх, зважених за чисельністю відповідних частин (груп) сукупності:

Інші середні величини – див. в матеріалі теми 5.1.