Тема 5.1. Продовження про середні величини

І. Середня гармонічна використовується для осереднення індивідуальних значень з обернених ознак шляхом їх підсумовування. Для незгрупованих да­них це середня гармонічна проста (формула (1)). Якщо дані згруповані, то використовують серед­ню гармонічну зважену (формула (2)). Середня гармонічна є оберненою величиною до середньої арифметичної. Її обчислюють, коли відомі дані про загальний обсяг ознаки (W = xf), а також індивідуальні значення ознаки (х), невідомими є частоти (f) або коли відсутня інформація про значення знаменника логічної формули, тобто відсутні ваги.. Формули середньої гармонічної простої і зваженої - мають такий вигляд:

проста зважена

(1) (2)

де W — обсяг значень ознаки, тобто W = X*f.

Задача 1. Протягом тижня два акціонерні банки, які продава­ли акції за ціною 2,0 і 3,0 грн за одну, одержали однакову виручку; по 1200 грн. Визначити середню ціну акції.

Рішення. Середня ціна акції визначається діленням загальної виручки двох бан­ків (2400 грн) на загальну кількість проданих акцій 1000 шт., обчислену діленням виручки кожного банку на ціну акції: (1200/2) + (1200/3).

Розрахунок можна подати у вигляді формули ,

де х₁, х₂ — ціна акцій; W₁, W₂ — виручка від реалізації акцій.

Підставляючи числові значення, дістаємо

Оскільки виручка від реалізації акцій в обох банках однакова (W1= W2= W), цю величину можна винести за дужки в чисельнику й знаменнику і скоротити:

Виконуємо розрахунок:

Задача 2.

Розрахувати середню окупність витрат на розвиток нова­торських робіт, яка характеризується даними табл. 1.

Таблиця 1

Новаторські роботи	Доход від використання, мпн.гр.од. (W)	Окупність 1 млн. витрат на розвиток новаторства, мпн.гр.од. (х)
Винаходи Раціоналізаторські пропозиції	391 377	4,6 6,5
Разом	768	X

Рішення. Логічна формула окупності витрат на розвиток новаторства матиме вигляд

окупність витрат на розвиток новаторства =	Доход від використання робіт
	Витрати на розвиток робіт

Оскільки у ролі ваги f виступають витрати на розвиток робіт, які в таблиці відсутні,

то застосо­вується середня гармонічна

Задача 3. За даними таблиці 2 розрахувати середній відсоток виконання плану реалізації продукції

Таблиця 2

Підприємство	Фактичний обсяг реалізації продукції, тис. грн.	Відсоток виконання плану реалізації продукції, %
Головне	198,6	102,5
Філія 1	105,3	83,9
Філія 2	84,1	113,6
Разом	388,0	-

Рішення. Логічна формула відсотку виконання плану реалізації продукції матиме вигляд

Відсоток виконання плану реалізації продукції =	Фактичний обсяг реалізації продукції
	Плановий обсяг реалізації продукції

Оскільки у ролі ваги f виступає плановий обсяг реалізації продукції, які в таблиці відсутні, то застосо­вується середня гармонічна

Рішення можна провести іншим чином, розрахувавши плановий обсяг реалізації продукції

Підпри-ємство	Фактичний обсяг реалізації продукції, тис. грн.	Відсоток виконання плану реалізації продукції, %	Плановий обсяг реалізації продукції, тис. грн.
Головне	198,6	102,5	193,8=198,6/102,5%*100%
Філія 1	105,3	83,9	125,5=105,3/83,9%*100%
Філія 2	84,1	113,6	74,0=84,1/113,6%*100%
Разом	388,0	-	393,3

ІІ. Середню геометричну застосовують тоді, коли загальний обсяг явища є не сумою, а добутком значень ознак. Ця середня використовується здебільшого для обчислення середніх коефіцієнтів (темпів) зростання і приросту при дослідженні динаміки.

Формула середньої геометричної простої , або де У₁ і Уп - початковий і кінцевий рівні динамічного ряду, k - коефіцієнти зростання, а п - число коефіцієнтів.

Середня геометрична визначається як добуток відносних величин динаміки хi, які є кратним співвідношенням i-го значення показника до попе­реднього (і-1).

Довідка: до відносних величин динаміки належать:

коефіцієнт зростання ; темп зростання ;

коефіцієнт приросту ; темп приросту .

Задача 4. Кількість зареєстрованих злочинів за чотири роки зросла у 1,57 раза, у тому числі за перший рік — у 1,08, за другий — у 1,1, за третій — у 1,18, за четвертий — у 1,12 раза.

Рішення. Середньорічний коефіцієнт зростання кількості зареєстрованих злочинів становить

тобто число зареєстрованих злочинів зростало що­річно у середньому на 12%.

ІІІ. Середня квадратична використовується для визначення показників варіації (коливання) ознаки - дисперсії і середнього квадратичного відхилення, які обчислюють на основі квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від їхньої середньої арифметичної. Формула середньої квадратичної має такий вигляд:

проста -

зважена -

Позначення такі самі, що й у попередніх формулах середніх величин.

Задача 5. Маємо два квадрати зі сторонами 20 і ЗО см. Визна­чити сторону квадрата, площа якого є середнім арифметичним площ цих квадратів.

Рішення. Сума площ двох квадратів дорівнює 20² + З0² = 1300 см². Визначимо сторону шуканого квадрата. Вона дорівнюватиме кореню квадратному з половини загальної площі:

Такий самий результат отримаємо, визначивши середню квадратичну:

Рейтингові та інтегральні оцінки як середні величини

Задача 6. Визначити нормований (центрований) середній бал ставлення до приватизації за даними таблиці 3 (за опрацьованими даними анкетування населення)

Таблиця 3

Ставлення до приватизації	Кількість відповідей (частка відповідей, % до підсумку
Повністю підтримую	32
Частково підтримую	47
Не підтримую	21
Разом	100

Розв‘язування. Нормований середній бал застосовують для ознак рангової шкали. Тому спочатку слід рангувати значення ознаки в порядку зростання якості. Оскільки ознака “підтримки приватизації” має три градації, то найвищого рангу надамо відповіді “повністю підтримую”, а найнижчого - “не підтримую”.

Ставлення до приватизації	Частка відповідей, ,% до підсумку	Ранг (х)	Розрахункова величина (х )
Повністю підтримую	32	3	96
Частково підтримую	47	2	94
Не підтримую	21	1	21
Разом	100		211

Нормований середній бал обчислюють за формулою ^,

де х – ранг ознаки; - середньозважений ранг ( , тобто середньоарифметична зважена); R – розмах шкали рангів (R = x_max – x_min); x’- середина шкали рангів ( ).

Отже, . R = 3-1=2; x’ = (3+1)/2=2; =1,11/2 = 0,555 або 55,5%.

Отже, схвальне ставлення до приватизації з боку населення становить в середньому 55,5%.

Інтегральна або комплексна оцінка соціально-економічних явищ.

Соціально-економічні явища надзвичайно складні та багатогранні. Будь-який показник відображає лише одну грань предмета пізнання. Комплексна характеристика останнього передбачає використан­ня системи показників. Кожний показник системи має самостійне значення і водночас є складовою уза­гальнюючої властивості, що дає підстави для констру­ювання інтегральних оцінок явищ. Оскільки показ­ники системи, як правило, різнойменні, то об'єднання їх в інтегральну оцінку передбачає стандартизацію — приведення до одного виду. При стандартизації індивідуальні значення показників замінюються рангами, балами, відносними величинами, стандарт­ними відхиленнями тощо.

Задача 7. Визначити рейтингову оцінку фінансового стану банку за інтеграцією п'яти параметрів діяльності: якість капіта­лу, якість активів, банківський менеджмент, прибут­ковість, ліквідність. Кожний параметр оцінюється балами — від 5 (сильний) до 1 (незадовільний). Се­редній незважений бал виступає як рейтингова оцін­ка фінансового стану банку.

1-й випадок: важливість (вагомість) параметрів для результату оцінки відсутня

№ з/п	Назва параметра	Бал оцінки
1	якість капіта­лу	3
2	якість активів	4
3	банківський менеджмент	3
4	прибут­ковість	2
5	ліквідність	3
	сума	15

Найкращий банк буде мати середній бал оцінки (5+5+5+5+5) / 5 = 5 балів

Найгірший банк – (1+1+1+1+1) / 5 = 1 бал

Досліджуваний банк може бути інтегрально оцінений, як (3+4+3+2+3) / 5 = 15 / 5 = 3 бали.

2-й випадок: важливість (вагомість) параметрів для результату оцінки введена експертами

№ з/п	Назва параметра	Бал оцінки (х)	Вагомість параметрів (d)	(x*d)
1	якість капіта­лу	3	0,3	0,9
2	якість активів	4	0,1	0,4
3	банківський менеджмент	3	0,2	0,6
4	прибут­ковість	2	0,3	0,6
5	ліквідність	3	0,1	0,3
	сума	15	1	2,8

Досліджуваний банк може бути інтегрально оцінений, як (3*0,3+4*0,1+3*0,2+2*0,3+3*0,1)/1=2,8бали.

Найкращий банк буде мати середній бал оцінки (5*0,3+5*0,1+5*0,2+5*0,3+5*0,1)/1=5*1/1=5балів

Найгірший банк – (1*0,3+1*0,1+1*0,2+1*0,3+1*0,1)/1=1*(0,3+0,1+0,2+0,3+0,1)/1= 1*1/1 =1 бал

При стандартизації за допомогою відносних ве­личин базою порівняння може бути або еталонне значення (норма, стандарт) або середнє значення по­казника за сукупністю:

або

де — значення i-го показника у j-го елемента сукупності; Хі,st — еталонне значення цього показника; — середнє.

Серед показників системи виділяються стиму­лятори та дестимулятори. Показники-стимулято­ри свідчать про високий рівень і-го показника при p_ij>1; дестимулятори — при р_ij<1. Щоб привести їх до однозначної характеристики, для дестимуляторів p_ij обчислюється як обернена величина, тобто

або

Середня величина з відносних m ознак, тобто ба­гатовимірна середня, є інтегральною оцінкою j-го елемента сукупності: .

Якщо показники системи вважаються нерівновагомими, кожному з них надається певна вага di, a розрахунок багатовимірної середньої ведеться за формулою арифметичної зваженої:

При p_j >1 рівень явища у j-го елемента вищий за середній у сукупності або за нормативний; при p_j <1, навпаки, нижчий.

Задача 8. У табл. 4 наведені дані для розрахунку інтегральної оцінки (багатовимірної середньої) j-го підприємства-емітента. перші два показники — стимулятори, третій та четвертий — дестимулятори.

Випадок 1. Показники вважаються рівновагомими.

Таблиця 4

Показник	Рівень показника, (Xij)	Норматив (Xi,st)	Pij
Рентабельність активів, %	47,20	20,00	2,36=47,20/20,00
Оборотність активів, коеф.	0,80	0,67	1,19=0,80/0,67
Час обробки документів, хв.	3,90	<10,0	2,56=10,0/3,90
Коефіцієнт заборгованості	0,34	0,70	2,06=0,70/0,34
Разом	X	X	8,17

Багатовимірна середня становить Pj =8,17 / 4 = 2,04, тобто фінансовий стан емітента можна вважати при­вабливим для інвесторів, бо він є кращим за норматив.

Випадок 2. Показники мають різні вагомості.

Таблиця 5

Показник	Рівень показника, (Xij)	Норматив (Xi,st)	Pij	Вагомості показників, d	Pij х d
Рентабельність активів, %	47,20	20,00	2,36=47,20/20,00	0,4	0,944
Оборотність активів, коеф.	0,80	0,67	1,19=0,80/0,67	0,3	0,357
Час обробки документів, хв.	3,90	<10,0	2,56=10,0/3,90	0,1	0,256
Коефіцієнт заборгованості	0,34	0,70	2,06=0,70/0,34	0,2	0,412
Разом	X	X		1	1,969

Багатовимірна середня становить Pj = 1,969, тобто фінансовий стан емітента можна вважати при­вабливим для інвесторів.

Примітка до задач 7 і 8. У Задачі 7 (випадок 7.1 і 7.2) і Задачі 8 (випадок 8.1 і 8.2) фактично узагальнені 4 можливих випадки узагальнення відомостей про об’єкт у єдиному числі, тобто проведення інтегральної оцінки стану об’єктів. При цьому враховано, що для випадку 7.1 дані для узагальнення (інтеграції) мають однакову розмірність (тут - бали), однакову розрядність (кількість знаків після коми), один напрям позитивних змін (всі вони є стимуляторами) і однакову вагомість. Для випадку 7.2 дані для узагальнення мають однакову розмірність, розрядність і напрям позитивних змін, але різну вагомість. Для випадку 8.1 - різну розмірність, розрядність і напрям позитивних змін, але однакову вагомість. Для випадку 8.2 – у даних все є різним (розмірність, розрядність, напрям позитивних змін і вагомість).