Тема 6. Ряди розподілу. Аналіз варіацій та форми розподілу. Основні поняття та категорії

Ряд розподілу характеризує склад, структуру су­купності за певною ознакою. Елементами ряду роз­поділу є варіанти — значення ознаки х_j та частоти f_j. Залежно від статистичної природи варіантів ряди поділяються на атрибутивні та варіаційні. У співвідношенні варіантів та частот проявляється закономірність розподілу. Вона описується низкою статистичних характеристик, зокрема:

а) частотні характеристики;

б) характеристики центру розподілу;

в) характеристики варіації;

г) характеристики нерівномірності розподілу, асиметрії, ексцесу.

Частотними характеристиками будь-якого ряду є абсолютна чисельність j-ї групи — частота f_j та відносна частота— частка d_j.

Очевидно, що , a або 100%.

Додатковою характеристикою варіаційних рядів є кумулятивна частота S_fj (частка S_dj), яка харак­теризує обсяг сукупності із значеннями варіант, які не перевищують х_j. Кумулятивні частотні характерис­тики утворюються послідовним підсумовуванням аб­солютних чи відносних частот. Так, S₁ = f₁ ; S₂ = f ₁ + f ₂ ; S₃= f₁ +f₂ + f₃ і т.д. Якщо інтервали варіаційного ряду нерівні, то використовують щільність частоти (част­ки) на одиницю інтервалу g _j = f _j / h _j aбо g _j = d _j / h _j., де h _j — ширина j-го інтервалу.

До характеристик центру розподілу відносять середню, моду та медіану. Середня величина характеризує типовий рівень ознаки в сукупності. За да­ними ряду розподілу середня розраховується як арифметична зважена:

на основі частот

на основі часток

де т — число груп;

В інтервальних рядах, припускаючи рівномірний розподіл у межах j-го інтервалу, як варіант х _j вико­ристовують середину інтервалу. При цьому ширину відкритого інтервалу умовно вважають такою ж, як і сусіднього закритого інтервалу. Так, у ряду розпо­ділу, який характеризує попит на держоблігації на вторинному ринку (табл. 4.1), середній термін обер­тання облігацій становить

= 560 / 100=5,6 міс.

Таблиця 4.1

Термін обер­тання, міс. X	Кількість про­даних держоблігацій, тис.од f	Кумулятивна частота, тис.од. Sf	Xj	Xj * f
До 2	15	15	1	15
2-4	13	28	3	39
4—6	29	57	5	145
6—8	22	79	7	154
8—10	12	91	9	108
10 і більше	9	100	11	99
Разом	100	X	X	560

Мода М₀ — це найпоширеніше значення озна­ки, тобто варіанта, яка в ряду розподілу має найбіль­шу частоту (частку).

У дискретному ряду Мo визначається візуально за максимальною частотою, або часткою. Наприклад, в результаті опитування населення щодо самовизна­чення матеріального стану за чотирма градаціями (добрий, задовільний, незадовільний, нестерпний) більшість респондентів визначили свій стан як неза­довільний. Або у розподілі сучасних сімей за кількістю дітей найпоширенішими є малодітні сім'ї, що мають 1 дитину. Зустрічаються ряди, що мають дві моди (бімодальний ряд) або декілька (полімодальний). Наприк­лад, на фондовому ринку однаково високим попитом користуються як найдешевші акції, так і дорогі. В інтервальному ряду за найбільшою частотою визна­чається модальний інтервал. Конкретне значення моди в інтервалі обчислюється за формулою

Мo = Х₀ + h , де х₀ та h — відповідно нижня межа та ширина модального інтервалу; f_{mo ,} f_mo-1, f_mo+1 — частоти (ча­стки) модального, передмодального та післямодаль­него інтервалу.

За даними таблиці 4.1 найбільшим попитом ко­ристуються акції з терміном обертання в інтервалі 4—6 місяців. Це модальний інтервал, ширина якого h=2, а нижня межа х₀ — 4, частота f_m = 29, передмодальна частота f_mo-1 =13, а післямодальна f_mo+1 = 22. Модальний термін обертання облігацій становить

Мo = 4+ 2 * = 5,4 міс.

Медіана Мe — це варіанта, яка припадає на се­редину упорядкованого ряду розподілу і ділить його на дві рівні за обсягом частини. Медіана, як і мода, не залежить від крайніх значень варіант, тому за­стосовується для характеристики центру в ряду роз­поділу з невизначеними межами. Для визначення Мe у ряду використовують кумулятивні частоти S_f або частки S_d . у дискретному ряду медіаною буде значення ознаки, для якої кумулятивна частота S_f дорівнює або перевищує половину обсягу сукупності , або кумулятивна частка S_dj > 0,5. В інтервальному ряду у такий спосіб визначається меді­анний інтервал. Конкретне значення медіани в інтер­валі обчислюється за формулою

Мe =x₀ + h , де х₀ та h — відповідно нижня межа та ширина медіанного інтервалу; f_me — частота медіанного інтер­валу; S_fme-1 — кумулятивна частота передмедіанного інтервалу. За даними табл. 4.1 половина обсягу cукупності проданих облігацій 0,5 = 50.

Отже, кумулятивна частота S_me3 = 57 визначає, що п'ятидесята з початку ряду облігація знаходи­тиметься в інтервалі 4—6 з частотою f _me = 29. Меді­анний термін обертання проданих облігацій стано­вить

Мe =4 + 2 * = 5,5 міс.

Тож половина облігацій продавалися з терміном обертання менше, ніж півроку — 5,5 міс, а полови­на — більше 5,5 міс.

У симетричних рядах розподілу значення моди та медіани збігаються з середньою величиною ( = М_е = М₀, а в помірно асиметричних вони співвідно­сяться таким чином: 3* ( - М_е) -Мo .

У наведеному прикладі з табл. 4.1 співвідношен­ня характеристик центру розподілу облігацій за тер­міном обертання свідчить про помірну асиметрію: 3*(5,6 - 5,5) 5,6 - 5,4.

Для вимірювання та оцінки варіації використо­вують абсолютні та відносні характеристики. До абсолютних відносяться: варіаційний розмах, середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення, дисперсії; відносні характеристики представлені низкою ко­ефіцієнтів варіації, нерівномірності, локалізації, кон­центрації.

Варіаційний розмах характеризує діапазон варі­ації, це різниця між максимальним і мінімальним значеннями ознаки: R = х _max - x _min. Якщо крайні значення ознаки не типові для сукупності, то вико­ристовують квартильні або децильні розмахи. Квар­тальний розмах R_Q = Q₃ — Q₁ охоплює 50% обсягу сукупності, децильний R_D2 = D₈ - D₂ — 60%, децильний R_D1 = D₉ – D ₁ — 80%.

Узагальнюючою мірою варіації є середнє відхилення індивідуальних значень ознаки від центру розподілу. Оскільки алгебраїчна сума відхилень , то в розрахунках використовують або модулі , або квадрати (x_j - )² відхи­лень. Середній з модулів відхилень називають се­реднім лінійним відхиленням ; середній квадрат відхилень — дисперсією , корінь квадратний з дис­персії — середнім квадратичним відхиленням :

;

За первинними незгрупованими даними наведені характеристики варіації розраховуються за принци­пом незваженої середньої, тобто:

;

Середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення

— іменовані числа (в одиницях вимірювання ознаки)

— за змістом ідентичні, проте через математичні влас­тивості . У симетричному, близькому до нормаль­ного, розподілі , R = 6 .

Дисперсію використовують не лише для оцінки варіації, а й при вимірюванні взаємозв'язків, для перевірки статистичних гіпотез тощо. Для ознак метричної шкали розрахунок дисперсії ведеться за формулами

.

Як і будь-яка середня, дисперсія має певні мате­матичні властивості:

а) якщо всі значення ознаки х. зменшити (збільши­ти) на певну величину, дисперсія не зміниться;

б) якщо всі значення ознаки змінити в К разів, то дисперсія зміниться в K² разів;

в) у разі заміни частот частками дисперсія не зміниться.

Для альтернативної ознаки, варіація якої має два взаємовиключні значення — "1" та "0", а розподіл характеризується відповідно двома частками — d₂ та d₀, дисперсія розраховується як добуток часток

У табл. 4.2 наведено розрахунок абсолютних ха­рактеристик варіації на прикладі терміну обертан­ня облігацій.

Таблиця 4.2

Термін обертання облігацій, міс.	f	х j	х j –	/х j – / f	(х j – ) 2 f
До 2	15	1	-4,6	69,0	317,40
2-4	13	3	-2,6	33,8	87,88
4—6.	29	5	-0,6	17,4	10,44
6—8	22	7	1,4	30,8	43,12
8—10	12	9	3,4	40,8	138,72
10 і більше	9	11	5,4	48,6	262,44
Разом	100	X	X	240,4	860,00

Середній термін обертання облігацій 5,6 міс; середнє лінійне відхилення становить = 240,4:100 -= 2,4 міс; дисперсія — = 860:100 = 8,6; середнє квадратичне відхилення — = 2,9 міс

Частка облігацій з терміном обертання менше 2 міс становить d₁ = 0,15. Дисперсія частки ² = 0,15(1-0,15) = 0,1275.

Порівнюючи варіації різних ознак або однієї озна­ки у різних сукупностях, використовують відносні характеристики варіації. Коефіцієнти варіації роз­раховуються як відношення абсолютних, іменова­них характеристик варіації ( ) до центру роз­поділу і часто виражаються процентами, отже:

1) лінійний коефіцієнт варіації V _l = * 100;

2) квадратичний коефіцієнт варіації * 100;

3) коефіцієнт осциляції V_R = *100.

Наприклад , за даними вибіркових обстежень домогосподарств, середньодушові витрати на харчуван­ня становили 80 гр.од.; на придбання промислових товарів — 35; дисперсії відповідно — 256 та 196. Порівняти ступінь варіації витрат домогосподарств на харчування та придбання промислових товарів можна за допомогою квадратичного коефіцієнта варіації:

витрати на харчування * 100 = 20%;

витрати на придбання промислових товарів * 100 = 40%.

Існує певне обмеження варіації ознаки у сукупності.

Якщо оцінку варіації використовують, наприклад, для оцінки ризику (нестабільності) ситуації, то у випадку 0< <30% - варіацію вважають прийнятною (тобто в допустимих межах); 30%< <60% - варіація є значною (надмірна); >60% - варіація є неприйнятною.

Отже, рекомендують обмежувати варіацію ознаки у сукупності при оцінці соціально-економічних явищ на рівні <30%.