Числовые характеристики дискретных случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину, однако на практике он часто бывает неизвестен. В этом случае используют числа, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называются числовыми характеристика случайной величины.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Математическое ожидание есть некоторая постоянная (неслучайная) величина.

Вероятностный смысл математического ожидания: для большого числа испытаний математическое ожидание приблизительно равно среднему арифметическому значению случайной величины.

Пример 1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, закон распределения которой приведен ниже:

X	0	1	2
P	0.25	0.5	0.25

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины C равно C:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них, не зависит от того, какие значения приняла другая случайная величина.

Пример 2. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в автосалоне составляют в среднем 120 тыс. руб., а число продаж X автомашин в течение дня подчиняется закону распределения:

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P	0.25	0.2	0.1	0.1	0.1	0.1	0.5	0.5	0.025	0.025

Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при цене автомашины в 150 тыс. руб.

Решение. Ежедневная прибыль подсчитывается по формуле: П=150X-120.

M(П)=М(150X-120)=M(150X)-M(120)=150M(X)-120=150×2.675-120=281.25

Математическое ожидание стандартных распределений:

1. биномиального распределения: ;

2. геометрического распределения: ;

3. распределения Пуассона: .

Определение. Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением: X-M(X).

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю: .

Определение. Математическое ожидание квадрата отклонения называется дисперсией (или рассеянием):

Формула дисперсии в развернутом виде:

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:

Пример 3. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

X	2	3	5
p	0.1	0.6	0.3

1 способ:

2 способ:

Свойства дисперсии:

1. дисперсия постоянной величины C равна нулю: ;

2. постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: ;

3. дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: ;

4. дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

Дисперсия стандартных распределений:

1. биномиального распределения: ;

2. геометрического распределения: ;

3. распределения Пуассона: .

Определение. Средним квадратическим отклонением (СКО) случайной величины X называется квадратный корень из ее дисперсии

Теорема. СКО суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов СКО этих величин:

Размерность СКО совпадает с размерностью случайной величины.

Пример 4. Банк выдал кредиты n разным заемщикам в размере S ден. ед. каждому под ставку ссудного процента r. Найти математическое ожидание, дисперсию и СКО прибыли банка, а также условие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата кредита заемщиком равна p.

Решение: Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем n независимых испытаний. Вероятность утери кредита банка в каждом испытании равна q=1-p. Пусть X – число заемщиков, возвративших кредит с ссудным процентом. Прибыль банка определяется формулой: .

С.в. X имеет биномиальное распределение, ее математическое ожидание равно , дисперсия .

Поскольку выдача кредита имеет смысл лишь при положительной прибыли, то из условия вытекает условие на ставку ссудного процента .

.

Начальные и центральные теоретические моменты

Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины X^k:

Например, , .

Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины :

Например, , .