Вероятность событий

Определение: Вероятность (осуществления) события – числовая характеристика возможности события при определенных условиях. Обозначается, как P(A).

Свойства вероятности:

1. ;

2. ;

3. если AÍB, то ;

4. пусть и , тогда ;

5. пусть A₁, A₂,...,A_n – полная группа событий, тогда P(A₁)+P(A₂)+...+P(A_n)=1;

6. .

Классическое определение вероятности:

P(A) есть отношение количества случаев, благоприятствующих появлению события A, к общему числу случаев: . Случаи – это равновозможные элементарные исходы некоторого испытания.

Подсчет вероятности в классической схеме сводится к подсчету числа “шансов” (элементарных исходов), благоприятствующих какому-либо событию, и общего числа шансов. Как правило, это делается с помощью формул комбинаторики.

Пример 1. Брошено три монеты. Описать множество всех элементарных исходов. Найти вероятности событий: а) A={не выпало ни одного герба}; б) B={выпало четное число гербов}; в) C={на 3й монете выпал герб}.

Множество элементарных исходов W={w₁=ГГГ, w₂=ГГР, w₃=ГРГ, w₄=ГРР, w₅=РГГ, w₆=РГР, w₇=РРГ, w₈=РРР}.

а) A={РРР}. P(A)=1/8; б) B={ГГР, ГРГ, РГГ}. P(B)=4/8=1/2; в) C={ ГГГ, ГРГ, РГГ, РРГ }. P(C)=4/8=1/2.

Пример 2. Найти вероятность угадать 5 чисел в лотерее “5 из 36”.

Испытание: извлечение пяти шаров с числами из 36.

Событие A={пять чисел из пяти угадано}.

,

Пример 3. В скачках участвует 6 лошадей. Найти вероятность угадать первые три места.

Событие A={в скачках угаданы первые три места}.

Пример 4. В 2009 году МарГТУ закончило 20 специалистов-маркетологов, из них 5 имеют дипломы с отличием. В отдел кадров крупного торгового центра обратились трое. Найти вероятность того, что среди них только один имеет диплом с отличием.

Пусть общее число студентов N, общее число отличников K, тогда студентов с синими дипломами N-K. Пусть в агентство обратилось n студентов, среди них k отличников, студентов с синими дипломами n-k.

Гипергеометрическое распределение:

.

Классическое определение вероятности обладает рядом недостатков:

1. пространство элементарных исходов должно быть счетным множеством;

2. все элементарные исходы должны быть равновероятными.

Статистическое определение вероятности:

Определение: в качества вероятности события можно взять относительную частоту данного события или число, близкое к ней.

Пример 5. Была проведена серия опытов по подбрасыванию монеты. Найти вероятность выпадения герба с помощью статистического определения вероятности.

Кол-во испытаний	Кол-во выпадений герба	Относительная частота
4 040	2 045	0,5062
10 000	5 024	0,5024
20 000	10 012	0,5006

P(A)=1/2

Классическое определение позволяет вычислить вероятность события до проведения испытаний, а статистическое – после проведения испытаний.

Геометрическое определение вероятности:

Рассмотрим некоторую область W в m-мерном пространстве (на прямой, плоскости или в пространстве). Предположим, что “мера” области (длина, площадь или объем соответственно) конечна. Область A расположена внутри области W.

Определение: Эксперимент удовлетворяет условиям геометрического определения вероятности, если его исходы можно изобразить точками некоторой области W в m-мерном пространстве так, что вероятность попадания точки в любую часть A не зависит от формы или расположения A внутри W, а зависит лишь от меры области A (и, следовательно, пропорциональна этой мере):

, где обозначает меру области A.

“Мерой” мы будем называть длину, площадь или объем.

Если для точки, брошенной в область , выполнены условия геометрического определения вероятности, то говорят, что точка равномерно распределена в области W.

Пример 6. К преподавателю для сдачи зачета с 9 до 10 часов должны прийти 2 студента: Сергей и Алексей. Сергею для сдачи зачета потребуется 20 минут, а Алексею – 10 минут. Найти вероятность того, что ни одному не придется ждать.

Элементарное событие – точка (x,y), где x - число минут, прошедших после 9 часов до прихода Сергея, а y – число минут до прихода Алексея. Студенты не будут ждать, если один придет после того, как другой сдаст зачет, то есть будут справедливы следующие неравенства: