Вероятностные модели с усреднением вероятности

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить только с одним из n попарно несовместных событий Н₁, Н₂, …, Н_n, образующих полную группу (P(H₁)+P(H₂)+…+P(H_n)=1), которые по отношению к А называются гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез P(H₁), P(H₂), …, P(H_n), а также условные вероятности появления события A: P(A|H₁), P(A|H₂), …, P(A|H_n). Тогда вероятность наступления события A может быть вычислена по формуле полной вероятности.

Теорема: вероятность события А, появление которого возможно лишь при появлении одного из несовместных событий H_i, образующих полную группу (i=1,2,..,n), равно сумме попарных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность появления события A:

.

Пример 1. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

Событие A={товар будет иметь успех} произойдет при появлении одной из гипотез H₁={конкурент выпустит аналог} и H₂={конкурент не выпустит аналог}. Вероятности гипотез P(H₁)=0.35, P(H₂)=1‑0.35=0.65. Условные вероятности события A: P(A|H₁)=0.42, P(A|H₂)=0.67.

Формулы Байеса.

Пусть событие A может наступить при условии появления одной из гипотез H₁, H₂, .., Hn, образующих полную группу. Если событие произошло, то можно оценить условную вероятность гипотез.

Вероятности P(H_i) называют априорными, то есть известными до проведения опыта, а вероятности P(H_i|A) – апостериорными, то есть известными после проведения опыта.

Пример 2. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на эти ситуации, в то время как 40% мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что её заполнял мужчина?

Событие A={анкета содержит негативную реакцию} может произойти при появлении одной из гипотез H₁={анкету заполнил мужчина} или H₂={анкету заполнила женщина}. Вероятности гипотез: , . Условные вероятности события A: , . Тогда вероятность того, что случайно выбранная анкета, содержащая негативную реакцию, заполнена мужчиной, будет равна:

Схема независимых испытаний

Определение: Если при проведении нескольких испытаний вероятность события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события A.

Определение: схемой Бернулли называется последовательность n одинаковых независимых испытаний, имеющих 2 возможных несовместных исхода, достигаемых с вероятностями p (успех) и q = 1 - p (неуспех).

Теорема (формула Бернулли): пусть в серии из n испытаний схемы Бернулли событие A произошло в k случаях. Тогда для любого k=0,1,..,n:

, где -сочетания из n по k, p – вероятность появления события в одном испытании.

Пример 1. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится: а) одному; б) по крайней мере одному; в) менее, чем двум.

а)

б)

в)

Теорема. В n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p наиболее вероятное число успехов определяется неравенством .

Для нахождения наиболее вероятного числа успехов можно воспользоваться следующим правилом:

a) если число не целое, то равно целой части этого числа ;

б) если число целое, то имеет два значения и ,.

Пример 2. Найти Наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли, где p=0.3, а количество испытаний равно а) n=5; б) n=9.

а) - не целое.

б) - целое. ,

При достаточно больших n использование формулы Бернулли затруднено, так как необходимо вычислять факториалы больших чисел. В этом случае используют формулы для приближенного вычисления вероятности.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k) того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n):

при .

Для получения значения функции используют специальные таблицы, в которых указаны значения этой функции для положительных значений аргумента x. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция четна, то есть .

Пример 3. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что из 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k₁,k₂) того, что событие A появится в n испытаниях не менее k₁ и не более k₂ раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n):

Здесь -функция Лапласа, ,

Значения функции Лапласа определяется по таблицам, в которых приведены значения для положительных аргументов x, не превышающих 5. Если аргумент меньше нуля, то следует учесть, что функция Лапласа нечетная, то есть . Для аргументов больших 5, значение функции следует принимать равными .

Пример 4. Кабельная телекомпания города Бобруйска, решая вопрос о целесообразности покупки прав на трансляцию чемпионата города по мини-футболу, провела опрос среди болельщиков и выяснила, что 20 из 100 болельщиков, не имеющих кабельного телевидения, пожелают по этой причине стать их абонентами. Считая, что в городе Бобруйске 10 000 болельщиков, не охваченных кабельным телевидением, а чистая прибыль от подключения одного абонента составляет 50 бобруйских рублей, выяснить, какова вероятность того, что чистая прибыль компании от привлечения новых клиентов превысит 105 000 бобруйских рублей.

Чтобы получить прибыль более 105 000 б.руб. нужно подключить более 105 000 / 50 = 2 100 новых абонентов. Один абонент подключается с вероятностью p=0.2, тогда q=1-0.2=0.8. Всего может подключиться n=10 000 болельщиков. Таким образом необходимо найти вероятность того, что подключится более 2 100 болельщиков из 10 000.

,

,

Важным следствием интегральной теоремы Лапласа является формула вероятности того, что в серии из n независимых испытаний отклонение относительной частоты появления события A от его вероятности, не превысит некоторого значения.

, где m-количество испытаний, в которых событие A произошло, n – общее количество испытаний, p – вероятность появления события в одном испытании, q – вероятность того, что событие не появится в одном испытании, e - некоторое число.

Пример 5. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления герба от вероятности p=0.5 окажется по абсолютной величине не более 0.01?

e=0.01, p=0.5, q=1-p=1-0.5=0.5

По таблице находим значение x, для которого : x=0.84.