- •Случайные события Некоторые сведения из теории множеств
- •Основные формулы комбинаторики
- •Случайные события, их виды
- •Вероятность событий
- •Теоремы умножения и сложения вероятностей Условная вероятность
- •Вероятностные модели с усреднением вероятности
- •Случайные величины
- •Дискретные случайные величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Непрерывные случайные величины Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Основные распределения непрерывных случайных величин
- •Математическая статистика
- •Выборочный метод
- •Статистические оценки параметров распределения
Случайные события, их виды
Теория вероятностей занимается установлением закономерностей, которым подчиняются массовые однородные случайные события Теория вероятностей не стремится предсказать единичное событие.
Определение: Однородные события - события, которые происходят при осуществлении одних и тех же условий S и подчиняются определенным закономерностям независимо от природы событий.
Условия S необходимо подробно и тщательно описывать в каждом конкретном случае при постановке задаче исследования случайных событий.
Определение: Событие называется случайным, если в результате испытаний при осуществлении некоторой совокупности условий S оно может произойти или не произойти. Под "испытанием" может пониматься проявление какого-либо природного явления или спланированный исследователем эксперимент над рукотворным или природным объектом.
Определение: Относительная частота - отношение числа появления события A к общему числу испытаний .
Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях и обладают свойством статистической устойчивости: относительная частота появления события имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов, приближаясь к некоторому числу P(A).
Определение: Элементарный исход - результат одного испытания в определенных условиях.
Элементарные исходы взаимно исключают друг друга, и в результате каждого испытания может произойти только один из элементарных исходов. Обозначение элементарного исхода wi.
Примеры элементарных исходов:
результат бросания монеты на идеальную плоскость (w1=Г, w2=Р),
результат бросания игральной кости и выпадение на верхней грани какого- либо числа (w1=1, w2=2, w3=3, w4=4, w5=5, w6=6),
результат одновременного бросания нескольких монет и выпадение на верхних гранях всех монет определенной комбинации гербов или решек. (Для двух монет: w1=ГГ, w2=ГР, w3=РГ, w4=РР)
Все элементарные исходы, возможные при определенных условиях, образуют пространство элементарных исходов W: , i = 1,2,.... Каждый элементарный исход влечет появление какого-либо события. В общем случае событие A может произойти при появлении элементарных исходов, принадлежащих некоторому подмножеству WA пространства W, (AÎW). Говорят, что событие A произошло, если реализовался любой из входящих в него элементарных исходов. События принято обозначать заглавными латинскими буквами: A, B, C...
Операции над собятиями:
1) Суммой A+B ( ) событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошло либо A, либо B, либо оба события одновременно. На языке теории множеств есть множество, содержащее как элементарные исходы, входящие в A, так и элементарные исходы, входящие в B.
2) Произведением AB( ) событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошли оба события A и B одновременно. То есть есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие одновременно в A и в B.
3) Разностью событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошло событие A, но не произошло B. То есть есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в A, но не входящие в B.
4) Противоположным (или дополнительным) к событию A называется событие , состоящее в том, что событие A в результате эксперимента не произошло. Иначе говоря, A есть множество, содержащее элементарные исходы, не входящие в A.
Виды случайных событий:
достоверное событие Т - событие которое непременно происходит при появлении любого элементарного исхода в условиях S: T=W
невозможное событие Æ - событие которое не может произойти ни при одном элементарном исходе из пространства W при условиях S.
события A и B несовместны, если появление одного из них исключает появление другого из них; о несовместных событиях можно записать: AB=Æ,
события A и B противоположны, если они несовместны и A+B=W, в этом случае пользуются обозначениями или ,
события A1,A2,...,An образуют полную группу попарно несовместных событий, если при в результате испытания осуществляется только одно из этих событий и A1+A2+...+An=W