8

3. Однофазные электрические цепи синусоидального тока

3.1. Основные характеристики

Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону

.

Максимальное значение I_m- амплитуда, - начальная фаза, Т – период, т.е. время за которое совершается одно колебания. (Гц). , где - угловая частота.

Среднее значение , т.е. среднее значение синусоидального тока составляет от амплитудного. ,

Действующие значение (эффективное или среднеквадратичное).

, , .

Коэффициент амплитуды К_а – это отношение амплитуды периодически изменяющейся функции к ее действующему значению

К_а=I_m/I= .

Под коэффициентом формы К_ф понимают отношение действующего значения к среднему

К_ф=I/I_ср=

Формула Эйлера e^j =cos +j sin .

I_me^j =I_mcos +j I_msin .

Положим, что . С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени , I_me^{i( t+ )}=I_me^j = ,

где – комплексная амплитуда.

Комплекс действующего значения тока .

3.2. Разветвленная электрическая цепь синусоидального тока с активно-реактивными сопротивлениями. Резонанс токов

В электрических цепях переменного тока имеются це­пи с параллельным соединением потребителей электроэнергии, при котором все потребители находятся под од­ним и тем же напряжением. При этом на ток в цепи каждого из потребителей не влияет их число. Значение тока в каждом из них определяется только значениями соответствующих сопротивлений и значением подводимого напряжения. Сопротивления в цепях переменного тока обычно носят комплексный характер. При этом каждое из них в общем случае можно представить в виде последовательно соединенных между собой сопротивлений , и .

Примером электрической цепи переменного тока с па­раллельным соединением сопротивлений может служить цепь, представленная на рис. 1. Рассматривая

отдельные параллельные ветви этой цепи как независимые элек­трические цепи, для каждой из них можно построить векторную диаграмму, исходя из предположения, что и (рис.2), так как при активно-индуктивном характере сопротивления вектор тока отстает по фазе от вектора напряжения на угол , а при активно-емкостном вектор тока опережает его на угол .

Ток может быть разложен на активную и реактивную составляющие. С учетом того, что и из векторной диаграммы рис. 4.2 находим:

,

где - активная проводимость соответству­ющей ветви электрической цепи.

Принимая во внимание, что в данном случае вектор­ная сумма реактивных составляющих токов в ветви рав­на алгебраической сумме, имеем

,

где , - реактивная индуктивная и реактивная ем­костная составляющие тока ; - полное сопротивле­ние соответствующей ветви цепи переменного тока.

При этом . Таким образом, активную составляющую тока в рас­сматриваемой ветви электрической цепи можно предста­вить в виде произведения напряжения на активную про­водимость ветви, реактивную составляющую тока — в ви­де произведения напряжения на реактивную проводи­мость ветви, а ток в рассматриваемой ветви равен напря­жению, действующему на зажимах цепи, помноженному на ее полную проводимость.

Для электрической цепи с параллельным соединением сопротивлений, в соответствии с первым законом Кирх­гофа для точки разветвления, общий ток в неразветв­ленном участке цепи может быть определен как вектор­ная сумма токов в отдельных параллельных ветвях. Этот ток может быть представлен в виде векторной суммы:

,

где и - комплексные токи в соответствующих парал­лельных ветвях электрической цепи.

В простейших электрических цепях переменного тока с одним источником питания токи в отдельных параллельных ветвях могут быть определены согласно закону Ома для соответствующих участков цепи:

,

,

где ; - комплексные сопротивления ветвей, модули которых соот­ветственно равны

и ;

, - комплексные проводимости, оп­ределяемые как величины, обратные комплексным сопро­тивлениям. Для рассматриваемой электрической цепи рис.1 можно получить выражение для общего тока:

,

где - комплексное сопротивление всей цепи, , , - активное, реактивное индуктивное и реактивное емкостное сопротивления цепи; - комплексная проводимость цепи.

С учетом этого выражение для токов можно записать в другом виде:

,

или .

Из этого выражения следует, что комплексная проводимость электрической цепи при параллельном соедине­нии сопротивлений, оказывается равной сумме комплексных проводимостей соответствующих параллельных вет­вей. Выражение для комплексной проводимости каждой из параллельных ветвей получается путем умножения числителя и знаменателя соответствующей проводимости на сопряженное значение комплексного сопротивления. Для первой ветви цепи с активно-индуктивным характером сопротивлений при она может быть пред­ставлена в виде

По аналогии с этим могут быть представлены и вы­ражения для и с учетом активно-емкостного характера сопротивлении во второй ветви цепи при и (см. рис. 2):

,

.

При этом .

Отсюда в общем случае для произвольного числа па­раллельных ветвей активная проводимость электрической цепи при параллельном соединении сопротивлений оказы­вается равной сумме активных проводимостей всех па­раллельных ветвей, а реактивная проводимость цепи рав­ной алгебраической сумме реактивных проводимостей всех параллельных ветвей, входящих в данную электри­ческую цепь.

Модуль полной проводимости цепи определяется из выражения

.

Полная проводимость цепи в то же время является и ве­личиной, обратной ее полному сопротивлению .

Разделив каждый вектор тока на векторной диаграм­ме рис.2 на вектор напряжения , можно получить треугольник проводимостей для данной цепи В качестве примера на рис.3 представлен треугольник проводимос­тей для первой ветви схемы рис.1.

Из треугольника проводимостей следует, что , a . С учетом этого полная, активная и реактивная мощности цепи мо­гут быть определены через соответствующие проводи­мости:

, , .

В электрических цепях пе­ременного тока при параллель­ном соединении реактивных со­противлений может возникать резонанс токов. Это происхо­дит в том случае, когда в од­них ветвях преобладает реак­тивное индуктивное сопротив­ление, а в других - реактивное емкостное сопротивление. Резонанс токов (явление резонанса на участке электрической цепи, содержащей параллельно соединенные индук­тивный и емкостный элементы) - особое состояние цепи переменного тока при параллельном соединении сопро­тивлений, при котором реактивная индуктивная прово­димость оказывается равной реактивной емкостной проводимости этой цепи, т. е. при условии, что .

Простейшей электрической цепью, в которой может наблюдаться резонанс токов, является цепь с параллель­ным соединением катушки индуктивности и конденсатора.

Полная проводимость рассматриваемой цепи

.

Условие резонанса токов ( ) можно записать через соответствующие параметры электрической цепи. Так как реактивная проводимость катушки, имеющей ак­тивное сопротивление , определяется выражением , а проводимость конденсато­ра без учета его активного сопротивления ( )

,

то условие резонанса может быть записано в виде .

Из этого выражения следует, что резонанс токов мож­но получить при изменении одного из параметров , , и при постоянстве других. При некоторых условиях в подобных цепях резонанс может возникать и при одно­временном изменении указанных параметров.

Простейшие резонансные цепи, состоящие из парал­лельно соединенных между собой катушки индуктивности и конденсатора, широко применяются в радиоэлектронике в качестве колебательных контуров, в которых резонанс токов достигается при некоторой определенной частоте поступающего на вход соответствующего устройства сиг­нала.

В лабораторных условиях наиболее часто резонанс токов достигается при неизменной индуктивности ка­тушки, путем изменения емкости батареи конденсато­ров. С изменением емкостной проводимости , пропорциональной емкости конденсатора, происходит из­менение полной проводимости , общего тока и коэф­фициента мощности .

Указанные зависимости называются резонанс­ными кривыми (рис.4). Анализ этих зависимос­тей показывает, что при увеличении емкости от нуля пол­ная проводимость электрической цепи сначала уменьшается, достигает при своего минимума, а затем возрастает с увеличением , в пределе стремясь к бесконечности. Общий ток , потребляемый цепью, пропорционален полной проводи­мости. Поэтому характер его из­менения подобен характеру изме­нения проводимости. Коэффици­ент мощности с увеличением емкости сначала возрастает, а затем уменьшается, в пре­деле стремясь к нулю, так как . В результате анализа указанных зависимостей можно установить, что резонанс токов характеризуется следующими явлениями.

1. При резонансе токов полная проводимость всей электрической цепи приобретает минимальное значение и становится равной активной ее составляющей:

2. Минимальное значение проводимости обусловли­вает и минимальное значение тока цепи:

.

3. Емкостный ток и индуктивная составляющая тока катушки оказываются при этом равными по вели­чине, а активная составляющая тока катушки ; стано­вится равной току , потребляемому из сети:

; .

При этом реактивные составляющие тока и (в зависимости от значения реактивных проводимостей) мо­гут приобретать теоретически весьма большие значения и намного превышать ток , потребляемый электрической цепью из сети.

4. Реактивная составляющая полной мощности, пот­ребляемой цепью, при оказывается равной нулю:

.

При этом индуктивная и емкостная составляющие реактивной мощности также могут приобретать весьма большие значения, оставаясь равными друг другу.

5. Полная мощность цепи при резонансе равна ее ак­тивной составляющей

.

6. Коэффициент мощности всей цепи при резонансе:

.

Напряжение и ток электрической цепи при резонансе токов совпадают по фазе. Векторная диаграмма, по­строенная для условии резонанса токов применительно к рассматриваемой цепи, представ­лена на рис.5.

Резонанс токов находит широкое применение в силовых электрических цепях для повышения коэффициента мощности ( ), так как он имеет большое технико-экономическое значение. Повышение коэффициента мощ­ности обеспечивается подключением конденсаторов (или других источников реактивной емкостной мощности) параллельно потребителям электрической энергии, которые вследствие наличия свойственной им индуктивности имеют низкий коэффициент мощности.