Лекция 17. Функции Уолша и их применение

Лекция 17. Функции Уолша и их применение

1. Функции Уолша. Основные определения. Способы упорядочения функций Уолша

Функции Уолща являются естественным расширением системы функций Радемахера, получены Уолшем в 1923 г. и представляют полную систему ортонормированных прямоугольных функций.

Множество функций Уолша, упорядоченных по частости, обычно обозначают следующим образом:

(17.1)

N=2ⁿ, n=1,2,3,... нижний индекс w показывает, что упорядочение осуществляется по Уолшу (по частости). Индекс функции i соответствует i-му элементу множества S_w. Обозначим через _i частость функции wal_w(i,t). Для определения частости воспользуемся соотношением:

(17.2)

Функции Уолша, упорядоченные по частости, аналогично тригонометрическим функциям можно подразделить на четные cal(i,t) и нечетные sal(i,t)

(17.3)

На рисунке 17.1 показаны первые восемь функций wal_w(i,t).

а)

б)

Рисунок 17.1

При этом видно, что частость каждой последующей функции Уолша больше или равняется частости предыдущей функции Уолша и имеет на одно пересечение нулевого уровня больше в открытом интервале t[0,1]. Отсюда и следует название «упорядочение по частости».

Дискретизация функций Уолша, показанных на рисунке 17.1а, в восьми равноотстоящих точках приводит к матрице (8х8), показанной на рисунке 17.1б. Эту матрицу обозначают H_w(n) где n=log₂N и матрица будет иметь размер NxN.

Функции Уолша при упорядочении по частости в общем случае можно получать из функций Радемахера r_k(x) по формуле:

(17.4)

где w номер функции Уолша; k – номер функции Радемахера; показатель степени функции Радемахера, который принимает значение 0 или 1 в результате суммирования по модулю два, т.е. по правилу: 11=00=0; 10=01=1 разрядов двоичного числа w. Например для шестой функции Уолша (w=6), входящей в систему размером N=2³=8 произведение (17.4) состоит из трех сомножителей вида: при k=1 при k=2 при k=3 . Число в двоичной системе записывается совокупностью нулей и единиц. В нашем случае значение w и его разрядов показаны в таблице 17.1

Таблица 17.1

  

w	w0	w1	w2	w3	r1(x)  r2(x)  r3(x) = wal(w,x)
0	0	0	0	0	r10(x)  r20(x)  r30(x) = wal(0,x)
1	0	0	0	1	r11(x)  r20(x)  r30(x) = wal(1,x)
2	0	0	1	0	r11(x)  r21(x)  r30(x) = wal(2,x)
3	0	0	1	1	r10(x)  r21(x)  r30(x) = wal(3,x)
4	0	1	0	0	r10(x)  r21(x)  r31(x) = wal(4,x)
5	0	1	0	1	r11(x)  r21(x)  r31(x) = wal(5,x)
6	0	1	1	0	r11(x)  r20(x)  r31(x) = wal(6,x)
7	0	1	1	1	r10(x)  r20(x)  r31(x) = wal(7,x)

w₀ – старший разряд числа, w₃ – младший разряд числа w.

Показатели степени функций Радемахера получаются равными: ; ; и следовательно,

wal(6,x)=r₁¹(x)r₂⁰(x)r₃¹(x)=r₁(x)r₃(x)

Правило получения показателей степеней для функции Радемахера схематически показано в таблице 17.1, где стрелками указаны суммируемые разряды числа w и функции Радемахера, к которым относится полученный показатель степени. Из рисунка 17.1 видно, что четные номера функций Уолша относятся к четным функциям, а нечетные к нечетным функциям. Другим способом упорядочения являются упорядочение по Пэли. При упорядочении по Пэли, аналитическая запись функции Уолша имеет вид:

(17.5)

где p – двоичный номер функции, имеющий представление в двоичной форме:

(17.6)

p₁ – младший разряд двоичного числа, р_n – старший разряд двоичного числа. При упорядочении по Пэли для формирования функций Уолша необходимо взять произведение возведенных в степень функций Радемахера, номера которых совпадают с номерами соответствующих разрядов двоихного представления числа р, а показатель степени каждой функции равен содержимому соответствующего разряда, т.е. 0 или 1. Причем младшей функции Радемахера соответствует младший разряд двоичной комбинации числа р. В соответствии с этим правилом в таблице 17.2 приведены значения функций Уолша упорядоченных по Пэли.

Таблица 17.2

р	р1	р2	р3	r1(x)  r2(x)  r3(x)	walp(i,x) = walw(j,x)
0	0	0	0	r10(x)  r20(x)  r30(x)	walp(0,x) = walw(0,x)
1	0	0	1	r11(x)  r20(x)  r30(x)	walp(1,x) = walw(1,x)
2	0	1	0	r10(x)  r21(x)  r30(x)	walp(2,x) = walw(3,x)
3	0	1	1	r11(x)  r21(x)  r30(x)	walp(3,x) = walw(2,x)
4	1	0	0	r10(x)  r20(x)  r31(x)	walp(4,x) = walw(7,x)
5	1	0	1	r11(x)  r20(x)  r31(x)	walp(5,x) = walw(6,x)
6	1	1	0	r10(x)  r21(x)  r31(x)	walp(6,x) = walw(4,x)
7	1	1	1	r11(x)  r21(x)  r31(x)	walp(7,x) = walw(5,x)

Функции Радемахера в таблице показаны в форме: . Сравнение произведений и степеней функций Радемахера, записанных в таблицах 17.1 и 17.2 показывает., что между функциями Уолша, упорядоченными по Пэли и по Уолшу существует соответствие, которое отражено в последнем столбце таблицы 17.2. В соответсвии с функциями Уолша упорядоченными по Пэли также может быть построена матрица отсчетов H_p(n), аналогичная показанной на рисунке 17.1б.

Следующим распространенным способом упорядочения является упорядочение по Адамару. Функции Адамара har(h,x) формируют с помощью матриц Адамара. Матрицей Адамара H_N порядка N=2ⁿ называется квадратная матрица с размерами NxN и элементами 1, обладающая свойством

(17.7)

где I – единичная матрица; – транспонированная матрица. Матрицы Адамара можно строить Используя рекурсивное соотношение:

(17.8)

Например начиная с Н₁=1 находим:

Сравнивая полученную матрицу Н₈ с матрицей отсчетов для функции Уолша, Упорядоченных по Уолшу (рисунок 17.1б) видим, что между первыми восемью функциями упорядоченными по Уолшу и Адамару существует следующее соответствие:

walh(0,x)=walw(0,x); walh(2,x)=walw(3,x); walh(4,x)=walw(1,x); walh(6,x)=walw(2,x);

walh(1,x)=walw(7,x); walh(3,x)=walw(4,x); walh(5,x)=walw(6,x); walh(7,x)=walw(5,x).

(17.9)

2. Основные свойстваи применение функций Уолша

1. Система функций Уолша является полной ортонормированной системой на интервале [0,1], т.е. справедливо соотношение:

(17.10)

и может служить базисом для спектрального представления сигналов. Любую интегрируемую на интервале 0х1 функцию являющуюся математической моделью электрического сигнала, можно представить рядом Фурье по системе функций Уолша

(17.11)

где коэффициенты А(i) находятся по формулам

(17.12)

где - безразмерное время, нормированное к произвольному интервалу Т.

2. Функции Уолша, как и функции Радемахера, принимают только два значения: -1 и 1. Для любого m – wal²(m,x)=wal(0,x)=1.

3. Функции Уолша являются периодическими функциями с периодом равным 1.

4. Функции Уолша обладают свойством мультипликативности, перемножение любых двух функций Уолша является также функцией Уолша:

(17.13)

причем это свойство справедливо и относительно параметра  т.е.

(17.14)

5. Среднее значение функции Уолша wal(i,x), при i0 равно нулю.

6. Система функций Уолша является составной системой и сотоит из четных и нечетных функций, обозначаемых соответственно:

cal(j,x) и sal(j,x)

(см. формулы 19.3)

7. Относительная погрешность аппроксимации сигнала f(x) конечным числом функций Уолша определяется по формуле

(17.14)

где - энергия сигнала на единичном нормированном интервале.

Вопросы для самостоятельной подготовки

1. Найдите выражения для функций Уолша через функции Радемахера wal(7,x), wal(9,x), wal(13,x) при упорядочении по Уолшу, Пэли и Адамару.

2. Перечислите и объясните основные свойства функций Уолша.

3. Разложите в ряд Уолша, ограничиваясь первыми восемью функциями Уолша функций sinx, cosx и постройте их.

4. Охарактеризуйте достоинства и недостатки каждого из рассмотренных способов упорядочения функций Уолша.

5. Рассчитайте значения первых 8 коэффициентов разложения в ряд Фурье – Уолша следующих сигналов:

и оцените для них относительную погрешность аппроксимации определяемую по формуле (19.14).