Курс лекций “Теория вероятностей и математическая статистика”.

Случайные события Некоторые сведения из теории множеств

- “для любого”, “любой”, - “или”, “хотя бы один”, - “x принадлежит A”

Определение: Множество - неопределяемое понятие, которое может быть интерпретировано как некоторый набор элементов; пустое множество - множество, не содержащее элементов; обозначает, что элемент x принадлежит множеству A.

Определение: множество B называется подмножеством А( ), если ; очевидно, что . Множества А и В равны, если и .

Операции над множествами:

1) Объединение (Объединение множеств A и B – это множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств).

2) Пересечение (Пересечение множеств A и B – это множество, состоящее из элементов, принадлежащих обоим множествам).

3) Разность (Разность множеств A и B – это множество, состоящее из элементов, принадлежащих множеству A и не принадлежащих множеству B).

4) Дополнение - если , то (Дополнение множества A до множества W - это множество, состоящее из элементов множества W и не принадлежащих множеству A).

Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика - раздел математики, занимающийся подсчетом числа комбинаций элементов конечного множества, составленных при определенных условиях.

Теорема 1 (правило умножения): пусть каждое из k действий можно выполнить соответственно N₁, N₂, ..., N_k способами, то существует N₁N₂ ... N_k способов выполнить все эти действия последовательно.

Теорема 2 (правило сложения): пусть каждое из k действий можно выполнить соответственно N₁, N₂, ..., N_k способами, то существует N₁ + N₂ +...+ N_k способов выполнить одно из этих действий.

Пример 1: Из пункта A в пункт B ведут 4 дороги. Из пункта B в пункт C ведут 3 дороги. Сколько существует путей из A в C?

Пример 2: Работы участников олимпиады по математике шифруются либо двумя цифрами, либо буквой латинского алфавита. Сколько различных шифров можно составить?

Пример 3: Сколькими способами можно выбрать комиссию из 3 человек (председатель, заместитель секретарь), выбирая ее из 4х супружеских пар, если в комиссию не могут входить члены одной семьи?

Определение: генеральной совокупностью объема n называется произвольное конечное множество ; выборкой из генеральной совокупности объема k называется произвольный набор элементов E: .

Определение: выборка называется упорядоченной, если имеет значение порядок ее элементов, и неупорядоченной в обратном случае. Выборка проводится без повторений, если каждый элемент генеральной совокупности входит в нее не более одного раза, и с повторениями в обратном случае.

Упорядоченные выборки объема k из генеральной совокупности объема n называются размещениями, а неупорядоченные – сочетаниями из n элементов по k.

Подсчет числа выборок объема k из генеральной совокупности объема n:

Выборки	Упорядоченные (размещения)	Неупорядоченные (сочетания)
Без повторений
С повторениями

Пример 4: В чемпионате по футболу участвуют 12 команд. Сколькими способами могут быть распределены 1,2 и 3 места.

Пример 5:Сколько существует различных способов сдать 6 карт из колоды в 36 карт.

Пример 6: Сколько можно составить различных двоичных чисел, состоящих из трех разрядов?

Пример 7:В магазине продается 5 видов открыток. Сколько существует способов выбрать любые 3.

Определение: различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов, называются перестановками этого множества. Количество перестановок определяется по формуле:

Различные упорядоченные множества, состоящие из элементов k различных видов, которые отличаются лишь порядком элементов, называются перестановками этого множества с повторениями. Количество перестановок с повторениями определяется по формуле:

Пример 8. Сколько различных буквенных сочетаний можно получить, переставляя буквы в слове БАРАБАН?