56. Графы. Связность. Компоненты связности. (Достижимость вершины, связный (сильно связный орграф) граф, слабо связанный, несвязанный, компонента связности (сильной связности)). Привести примеры.

Матрица связности графа G − квадратная матрица S(G)=[sij] порядка n, элементы которой равны.

Компонента связности графа — некоторое подмножество вершин графа такое, что для любых двух вершин из этого множества существует путь из одной в другую, и не существует пути из вершины этого множества в вершину не из этого множества.

Вершина w орграфа D(G) достижима из вершины v,если w=v или v в w.

Связный граф — граф, содержащий ровно одну компоненту связности. Это означает, что между любой парой вершин этого графа существует как минимум один путь.

Орграф называется слабосвязным если связным является ассоц. С ним псевдограф.

Если граф не является связным(слабосвязным) то называется несвязным.

57. Графы. Матрицы связности. Утверждение о матрицах связности, матрицы достижимости, матрицы сильной связности.

Матрица связности графа G − квадратная матрица S(G)=[s_ij] порядка n, элементы которой равны.

s_ij= 1, если i=j или существует маршрут из v_j в v_j

0, в противном случае.

Матрицей достижимости орграфа D называется квадратная матрица T(D)=[tij] порядка n, элементы которой равны

T_ij= 1, v_i достижимо из v_i

0, в противном случае.

Матрицей сильной связности орграфа D называется квадратная матрица S(D)=[sij] порядка n, элементы которой равны

S_ij= 1,если v_i достижима из v_j и v_j достижима из v_i

0, в противном случае.

58. Графы. Выделение компонент связности. Алгоритм нахождения числа компонент сильной связности и матрицы смежности этих компонент.

Алгоритм выделения компонент сильной связности.

1. Присваиваем p=1, S1=S(D).

2. Включаем в множество вершин Vp компоненты сильной связности Dp=(Vp,Xp) вершины, соответствующие единицам первой строки матрицы Sp. В качестве матрицы A(Dp) возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из Vp.

3. Вычеркиваем из Sp строки и столбцы, соответствующие вершинам из Vp. Если не остается ни одной строки (и столбца), то p- кол-во компонент сильной связности. В противном случае обозначим оставшуюся после вычеркивания срок и столбцов матрицу Sp+1, присваиваем p:=p+1 и переходим к п. 2.

Пусть существует ориентированный граф G(V, X) (неориентированный граф G(V, Q)) с множеством вершин {v1,..., vn}, задана матрица смежности Аnґn и матрица сильной связности (матрица связности). Требуется найти компоненты сильной связности (компоненты связности).

Алгоритм поиска компонент связности - итерационный.

1. k=1; S1=S;

2. В матрице Sk вычеркнем столбцы, в которых в первой строке стоят "1" и строки, в которых в первом столбце стоят "1". Ввиду того, что матрица S - симметрическая, номера вычеркнутых столбцов и строк - совпадут. Вершины, соответствовавшие вычеркнутым столбцам с строкам образуют k-тую компоненту связности. В результате вычёркивания оставшиеся строки и столбцы образуют матрицу Sk+1.

3. Если в Sk остались строки и столбцы, то k=k+1, переходим к пункту 2. Иначе - конец алгоритма.

k - число компонент связности.