Уравнение прямой, проходящей ч/з 2 точки на плоскости и в пространстве

На плоскости. Пусть прямая проходит через точки М₁(x₁;y₂) и М₂(x₂;y₂). Уравнение прямой, проходящей через точку М₁ имеет вид y-y₁=k(x-x₁), где k-пока неизвестный коэффициент, который мы будем находить.

Т.к. прямая проходит ч/з точку M₂(x₂;y₂), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению

y-y₁=k(x-x₁). Отсюда выражаем k: k подставляя найденное значение k в уравнение ,получим уравнение прямой, проходящей ч/з две точки:

В пространстве. Пусть прямая L проходит ч/з точки

М₁(x₁;y₁;z₁) и М₂(x₂;y₂;z₂)/ в качестве направляющего вектора S можно взять вектор М₁М₂=(x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁),

то есть S=M₁M₂. Следоват-о m=x₂-x₁, n=y₂-y₁, p=z₂-z₁.

Поскольку прямая проходит ч/з точку М₁(x₁; y₁; z₁),

То уравнение имеет вид. Уравнение называется уравнением прямой, проходящей ч/з две данные точки в пространстве:

Условия параллельности и перпендикулярности прямых

1.условие параллельности.

Если прямые y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂ параллельны, следовательно α=0, значит tgα=0. Из формулы нахождения угла между прямыми tgα следует k₁=k₂

k₁=k₂ – условие параллельности прямых. Равенство угловых коэффициентов является необходимым условием параллельности двух прямых

2. условие перпендикулярности

Если две прямые перпендикулярны, то α= .

Так как tgα= не существует, то ctgα или

ctgα= → 1+ k₁×k₂=0 → k₁×k₂= ─1

k1×k2=─1 –условие перпендикулярности прямых. для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.

Окружность. Ее каноническое уравнение

Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса R с центром M₀ в точке называется множе­ство всех точек Μ плоскости, удовлетворяющих условию M₀M = R. Пусть точка M₀ в прямоугольной системе координат Oxy имеет координаты x₀, y₀ а M(x; y)— произвольная точка окружности.

Тогда из условия M0M=R получаем каноническое уравнение окружности (используя формулу расстояния между двумя точками)

Уравнению удовлетворяют координаты любой точки данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.

Эллипс. Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется множ-во всех точек плоск-и, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называется фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

F1(-c; 0) и F2(c; 0)-фокусы. 2c-расстояние между ними, 2а-это сумма расстояний от М до F1 и F2. → 2a > 2c,

Пусть M(x;y) — произвольная точка эллипса. Тогда MF1+MF2=2a,то есть Это уравнение эллипса. приведем его к простому виду:

Так как a > с , то a² – c² >0 тогда

Тогда последнее уравнение примет вид b²x² + a²y² = a²b²

Или Оно называется каноническим уравнением эллипса.

E= - эксцентриситет гиперболы, где а - расстояние от центра гиперболы до ее вершины.

.

умножение матрицы на число и его свойства

произведением матрицы А на число ƛ называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента данной матрицы на это число

свойства:

1) (-1)×А=-А

2) α(βА)=(αβ)А- Сочетательное свойство

3) α(А+В)=αА+αβ – свойство дистрибутивности

4) (α+β)А=αА+βА - Распределительное свойство

Свойства собственных чисел квадратной матрицы

Собственным числом(λ) м.А называется число, опред-е как решение характеристического уравнения |А-λЕ|=0

Свойства:

1)сумма собств чисел м. А равна сумме ее диагональных элементов(следу этой матрицы)

2)произвед-е собств.чисел м.А = определителю этой м.

3)число отличных от нуля собств чисел м.А =ее рангу

4)если λ₀-собств число невырожденной м. А(определитель не равен 0), то -собственное число обратной м.

5)если λ₀-собств.число невырожденной м. А, то A₀^K- собственное число м.А при любом целом k≥1

6)квадратные матрицы А и А^Т(транспонир)подобны,т.е. у них одинаковые собственные числа

7)собств.числами диагональной м-ы являются числа, стоящие на главной диагонали

8) если м. А-невырожденная, то матрица В=Т^-1АТ подобна матрице А

9) если все собственные числа м.А различны, а V-матрица,столбцами которого явялются собств.векторы м.А, соответствующие разным собственным числам этой матрицы, то матрица V^-1AV- диагональная матрица,подобная м.А

Декартова сист-а координат на ПЛОСКОСТИ

Системой координат назыв-я совокуп-ть одной или двух пересекающ-я осей(координатные оси). Точки,в которых эти оси пересекаются назыв. началом коорд-т и единичных отрезков на каждой из оси. Каждая точка в системе коорд-т опред-я упорядоченным набором нескольких чисел. Эти числа называются координатами. Д.К- это если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу. Координатные оси делят коорд. Плоскость на 4 квадрата, у этих квадратов есть точки, лежащие на осях координат не принадлежащие ни одному квадрату.

1)Расстояние между точками A (x1; y1) и B (x2; y2) равно

2) Координаты середины отрезка

3) Общее уравнение прямой

ax + by + c = 0;

если а = 0, прямая параллельна Ох;

если b = 0, прямая параллельна Оy;

если c = 0, прямая проходит через начало координат.