- •Общее решение системы линейных уравнений
- •Транспонирование матриц и его свойства
- •Разложение произвольного вектора по ортам координатных осей на плоскости и в пространстве.
- •Действия с векторами в координатной форме
- •Признак коллинеарности векторов
- •Уравнение прямой, проходящей ч/з 2 точки на плоскости и в пространстве
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •Окружность. Ее каноническое уравнение
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса
- •Декартова сист-а координат в пространстве
- •У равнение прямой с угловым коэффициентом? Геометрический смысл углового коэффициента
- •Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы
- •Парабола. Каноническое уравнение параболы
- •Понятие матрицы.Квадратная матрица
Декартова сист-а координат в пространстве
Декартова прямоугольна система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-либо порядке. Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси - координатными осями. Первая координатная ось называется осью абсцисс, вторая - осью ординат, третья - осью апликат. Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси.
1) Расстояние между точками
2) нахождение середины отрезка
3)расстояние от т.А до начала координат
Понятие собственного числа
Собственным числом м.А называется число λ, удовлетворяющее уравнению |A-λE|=0. Множество собств чисел м. А называется ее спектром. Квадратные матрицы одного порядка,имеющие одинаковые спектры, называются подобными. Уравнение |A-λE|=0 называется характеристическим уравнением матрицы А, определитель |A-λE|-характеристическим многочленом матрицы А
Длина вектора, вычисление косинуса угла между векторами
1)Длина вектора. Модулем или длиной вектора AB называется длина соответствующего направленного отрезка AB и обозначается так |AB|. Модуль вектора (длина вектора) |a| в прямоугольных декартовых координатах равен квадратному корню из суммы квадратов его координат
Например a = {x1; y1; z1} тогда модуль вектора:
расстояние между двумя точками(док-во)
пусть имеются две точки М1 и М2 в декартовой системе и имеют координаты М1(x1;y1) и М2(x2;y2). Достроим точку М3 (x1;y2) и соединим все три точки отрезками. получим прямоугольный Δ-к. линия соединяющая точку М1 и М2 является гипотенузой прямоугольного Δ-ка.
Обозначим получившиеся три отрезка a,b,c. Из теоремы пифагора известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть c2=a2+b2.
Чтобы найти длину отрезка с необходимо извлечь из под корня сумму квадратов катетов. найти длины отрезков a и b. Т.к. отрезок a параллелен оси Оx, то его длина составляет x2-x1, для отрезка b длина будет y2-y1. Подставив длины отрезков в формулу, мы можем записать формулу для нахождения расстояния между двумя точками:
вычисление косинуса угла между векторами
По определению скалярн-о произведения а•b=|а| • |b| cos φ
Следовательно т. е. косинус угла между ненулевыми векторами а и b равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин.
пусть заданы вектора а = (x1 ; y1 ; z1) и b = (x2 ; y2; z2).
Тогда, как известно
и поэтому, используя равенство (1), получим формулу
Эта формула позволяет вычислить косинус угла между векторами а и b по координатам этих векторов.
Общее уравнение прямой
Рассмотрим уравнение первой степени относительно x и y в общем виде : Аx + By + C = 0, где A,B,C-произвольные числа , причем А и B не равны нулю одновременно. это уравнение является уравнением прямой линии.
Частные случаи уравнения прямой:
1) если А = 0, то уравнение приводится к виду y= прямая параллельна Ох;
2) если B = 0, то уравнение имеет вид Ax+C=0,то есть
х= это уравнение прямой, параллельной оси Оy и проходящей через точку ( ;0)
3)если В≠0,то из уравнения получаем y= это уравнение прямой с угловым коэффициентом
k= tgα=
4) если C = 0, то получаем Ax+ By = 0. Уравнению удовлетворяют координаты точки О(0;0). прямая проходит через начало координат.