Теорема Остроградского - Гаусса для диэлектрика. Граничные условия.

Источниками ЭСП служат как свободные (сторонние) заряды q, так и связанные заряды q в диэлектрике. Поэтому теорема Остроградского-Гаусса для диэлектрика должна быть записана в следующем виде:

= = (q + q^ )/_о

В

ыразим связанный (поляризационный) заряд q в диэлектрике через его поляризованность Р. Для этого, выделив мысленно в диэлектрике некоторый объем V, ограниченный замкнутой поверх­ностью S, найдем связанный заряд dq^, смещенный через элементарную площадку d при неоднородной поля­ризации диэлектрика внутрь объема V;

dq^ = dS = - Р_ndS.

Знак "минус" указывает на поступление заряда внутрь объема V, т. е. в направ­лении противоположном внешней нормали к площадке d . Через всю поверх­ность S внутрь объема V при поляризации диэлектрика поступает заряд q^ = - . Подставляя это выражение в формулу теоремы Остроградского-Гаусса, после преобразований получаем:

= q

= q/_о -  = q 

Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность не зависит ни от размера, ни от формы поверхности, а определяется лишь суммарным свободным (сторонним) зарядом, находящимся внутри замкнутой поверхности, будучи численно равным этому заряду. В этом заключается суть теоремы Остроградского-Гаусса для диэлектрика. Этим, в основном и оправ­дывается введение дополнительного (вспомогательного) вектора , облегчающего расчет вектора в диэлектрических и особенно в неоднородных средах и связанном с ним следующим соотноше­нием: D_n = _оЕ_n + P_n или  = _о + = _о .

Три вектора: , и по разному характеризуют силу ЭСП. Вектор определяется только связанными зарядами так, что его нормальная составляющая равна поверхностной плотности ^ связанного (поляризационного) заряда в диэлектрике: Р_n = ^. Аналогично вектор определяется только свободными зарядами и его нормальная составляющая равна поверхностной плотности  сво­бодного заряда: D_n = . Вектор определяется как свободными, так и связанными зарядами.

В

неоднородных диэлектрических средах средством расчета характеристик ЭСП служат так называемые граничные условия, накладываемые на нормальную и тангенциаль­ную проекции векто­ров и к границе раздела двух диэлектриков с разными значениями ₁ и ₂ диэлектрической проницаемости.

Г

раничные условия являются следствием, конкретизацией основных уравнений - теорем ЭСП - теоремы Остроградского - Гаусса (теоремы о потоке вектора или ) и теоремы о цирку­ля­ции вектора применительно к границе раздела двух диэлектри­ков. На такой границе могут появляться связанные (поляризационные) заряды, создающие дополнительное к внешнему, внутреннее ЭСП, нормальное к границе раздела. Касательная же составляющая напряженности результирую­щего ЭСП на границе раздела двух сред оста­ется неизменной.

Выберем в качестве замкнутого контура L вытянутый вдоль границы раздела двух диэлектриков прямоугольник малой высоты h, длинные стороны l которого находятся по раз­ные стороны от границы (в разных диэлектри­ках). Циркуляция вектора должна быть равна нулю, то есть Е_1l - Е_2l = 0, где Е_1 и Е_2 - касательные составляющие вектора Е к гра­нице раздела в первом и втором диэлектрике, соответственно. Оче­видно, что Е_1 = Е_2, то есть касательная составляющая вектора проходит границу раздела двух диэлектриков не изменяясь. Касательная же составляющая вектора = _о будет испытывать на границе раздела диэлектриков разрыв, ибо из Е_1 = Е_2  D_1/_о₁ = D_2/_о₂  D_1/D_2 = ₁/₂.

Д

ля применения теоремы Остроградского-Гаусса для диэлектрика Ф_D = = q, выберем в качестве замкнутой поверхности для вычисления потока Ф_D вектора электрического смещения цилиндр малой высоты h, ось которого нормальна к границе раздела, а его основания площадью S располагаются симметрично по разные стороны от границы раздела, то есть в разных диэлектриках. Полагая, что граница диэлектриков не содержит свободных (сторонних) зарядов (q = 0), получим, что поток вектора через основания цилиндра равен: D_n1S - D_n2S = 0, откуда следует, что нормаль­ная составляющая вектора на границе раздела двух диэлектриков остается неизменной D_n1 = D_n2. Нормальная же составляющая вектора напряженности = /_о испытывает на границе раздела диэлектриков разрыв, скачок: из D_n1 = D_n2 

_о₁Е_n1 = _о₂Е_n2  Е_n1/Е_n2 = ₂/₁.

Полученные граничные условия для касательной и нормальной составляющих векторов и позволяют выявить характер преломления линий и на границе раздела двух диэлектриков. Обозначив углы падения этих векторов на границу раздела за  и ^, а углы преломления за  и ^, имеем:

tg  = Е­_1/Е_n1, а tg  = Е_2/Е_n2, откуда tg /tg  = (Е­_1/Е_n1)/(Е_2/Е_n2) = (Е_1/Е_2)(Е_n2/Е_n1) = Е_n2/Е_n1 = ₁/₂.

Отсюда tg  = (­₂/₁)tg .

Эта формула выражает закон преломления силовых линий ЭСП на незаряженной поверхности однородных изотропных диэлектриков. При переходе в среду с большей диэлектрической проницаемостью (₂  ₁) угол преломления  оказывается больше угла падения , то есть вектор отклоняется от нормали по отношению к вектору в первой среде.

Повторив подобные выкладки для вектора , имеем:

tg /tg ^ = (D­_1/D_n1)/(D_2/D_n2) = (D_1/D_2)(D_n2/D_n1) = (D_1/D_2) = ₂/₁. Для вектора получили результат, подобный тому, который был получен для вектора .