4.3. * Статичні інваріанти

Статичним інваріантом називають величину (векторну або скалярну), що має одне і те ж значення в будь-якому центрі зведення.

Першим статичним інваріантом є незмінність головного вектора просторової системи сил відносно зміни центра приведення. Таким чином,

(4.8)

Покажемо, що іншим статичним інваріантом є скалярний до­буток головного вектора на головний момент.

Дійсно, помноживши скалярне ліву і праву частину виразу (4.7) на головний вектор , одержимо:

але другий член правої частини цієї рівності дорівнює нулю, оскільки вектор ( ) перпендикулярний вектору .

Отже, . Позначаючи останнє через I₂, маємо

(4.9)

Якщо врахувати, що , а являється інваріантом, то співвідношенню (4.9) можна надати наступний вигляд:

(4.10)

Таким чином, скалярний добуток головного вектора на го­ловний момент (тобто, величина, що визначається (4.9)) або про­екція головного моменту на направлення головного вектора (тобто величина, що визначається виразом (4.10)) постійні для да­ної системи сил і не залежать від вибору центра зведення, а тому є другим статичним інваріантом системи.

4.4* Зведення просторової системи сил до простішого ви­гляду

Як показано в 4.2, будь-яка система сил зводиться в загально­му випадку до сили, рівної головному вектору і прикладеної в до­вільному центрі О і до пари сил з моментом, рівним головному моме­нту . Знайдемо, до якого простішого вигляду може зводитись прос­торова система сил, що не знаходиться в рівновазі. Результат залежить від значень, які в цій системі мають величини і .

1. Якщо для даної системи сил і , то вони зво­дяться до пари сил, момент якої рівний і може бути обчислений за формулами (4.4). В цьому випадку значення не залежить від вибору центра О, тому що інакше сталося б , що одна і та ж сама система сил замінюється різними, не еквівалентними одна одній парами, що неможливо.

Рис 4.5

2. Якщо для даної системи сил , , то вона зво­диться до рівнодійної , лінія дії якої проходить через центр О. Значення можна знайти за формулами (4.3).

3. Якщо для даної системи сил , але то ця система також зводиться до рівнодійної, рівної , але не про­ходить через центр О (рис. 4.5).

Тоді, вибравши сили пари і , рівні за модулем , і розмішуючи їх так, як показано на (рис. 4.5), одержимо, що сили і взаємно зрівноважуються і система заміниться однією рівнодійною , лінія дії якої проходить через точку О'. Відстань знаходиться при цьому за формулою , де h = ОО'.

4. Якщо для даної системи сил і і при цьому вектор паралельний (рис.4.6а), то це означає, що система сил

Рис. 4.6

зводиться до сукупності сили і пари ( ) , що лежить в площині, перпендикулярній силі (рис. 4.6,6). Така сукупність сили і пари називається динамічним гвинтом, а пряма, вздовж якої направ­лений вектор , віссю гвинта. Подальше спрощення цієї системи не­можливе.

4.5. Зведення плоскої системи сил до простішого вигляду

Розглянемо систему сил ( ), розміщених в одній площині. До цього випадку зводиться значна кількість практичних задач техніки. Сумістимо з площиною розміщення сил систему коор­динат Оху і, вибравши її початок за центр зведення, згідно основної теореми статики, зводимо цю систему сил до однієї сили

^(4.11)

що дорівнює головному вектору, і до пари сил, момент якої рівний головному моменту

(4.12)

Оскільки сили розміщені в одній площині, то сила також лежить в цій площині. Момент пари направлений перпендикуля­рно цій площині, тому що пара знаходиться в площині дії сил, що роз­глядаються. Таким чином, для плоскої системи сил головний вектор і головний момент перпендикулярні між собою.

При розгляді плоскої системи сил ми маємо справу з парами, розміщеними в площині дії сил. Тому в плоских системах немає необ­хідності придавати векторний зміст моменту пари. Момент повністю характеризується алгебраїчною величиною М_z, рівною добутку пле­ча пари па величину однієї з сил, що складають пару, взятий зі знаком плюс або мінус. Іншими словами, за момент пари в плоских системах приймається проекція вектора моменту пари на вісь, перпендикулярну площині дії сил.

Аналогічно, моментом сили відносно точки будемо називати алгебраїчну величину, що дорівнює проекції вектора моменти сили відносно цієї точки на вісь, перпендикулярну площині, тобто добутку сили на плече, взятому з відповідним знаком.

Виходячи з цих визначень, для знаходження головного момен­ту, замість формули (4.9) будемо користуватись формулою:

(4.13)

Згідно формули (4.4) головний момент рівний

(4.14)

де x_i, y_i - координати точки прикладення сили . Формула (4.7), ви­значаюча зміну головного моменту при зміні центра зведення, прийме вигляд:

(4.15)

Індекс z (4.10) (4.11) (4.12) (4.13) (4.14) (4.15) збережений для того, щоб вказати на алгебраїчний характер моментів.

Для аналітичного визначення головного вектора використовуються формули:

^(4.16)

Доведемо теорему.

Якщо головний вектор і головний момент плоскої системи сил не дорівнюють нулю, то дана система еквівалентна одній силі, тобто зводиться до рівнодійної (рис. 4.7). Нехай, для вибраного центра зве­дення, головний вектор і головний момент не дорівнюють нулю, тоб­то і (рис. 4.7, а). Дуговою стрілкою (на рис. 4.7, а) символічно зображують пару з моменту M_oz. Пару сил, момент якої дорівнює головному моменту, представимо у вигляді двох сил , рівних за модулем головному вектору , тобто . Очевидно, що відстань h (плеча пари) можна знайти з умови , тобто ;

Рис. 4.7

При цьому одну із сил пари прикладемо в центрі зведення О і направимо в сторону протилежну F₀ (рис. 4.76). Тоді система сил ( і ) еквівалентна нулю і може бути відкинута. Отже, задана сис­тема сил еквівалентна одній силі , прикладеній в точці О₁. Ця сила і є рівнодійною, яку позначимо (рис. 4.7в). Внаслідок зведення пло­скої системи сил до даного центра можливі такі випадки:

1. . В цьому випадку система сил може бу­ти зведена до однієї сили(рівнодійної) як це показано на(рис. 4.7в).

2. . При цьому система сил зводиться до однієї сили (рівнодійної), що проходить через даний центр зведення.

3. . В цьому випадку система еквівалентна одній парі сил.

4. . В цьому випадку розглядуємо систему сил, еквівалентну нулю, тобто сили системи взаємно врівноважені.

4.6. Теорема Варіньона (в загальному вигляді)

Узагальнимо теорему Варіньона, наведену в п. 3.2 для системи збіжних сил, на випадок просторової системи сил.

Теорема. Якщо просторова система сил зводиться до рівнодійної, то момент рівнодійної відносно довільної точки дорівнює гео­метричній сумі моментів сил відносно тієї самої точки.

Доведення. Нехай просторова система сил має рівнодійну прикладену в точці О. Це значить, що головний момент цієї системи сил відносно точки О дорівнює нулю, тобто . Перенесемо центр зведення в точку О₁, тоді за визначенням головного моменту він дорівнює геометричній сумі моментів всіх сил відносно точки О₁.

Крім того, скориставшись формулою (4.7), маємо:

Оскільки, , то з наведених виразів випливає:

(4.17)

Теорема доведена.