3.3. Момент сили відносно осі

Поряд з поняттям моменту сили відносно точки важливим є поняття моменту сили відносно осі. Він характеризує обертальну дію сили навколо заданої осі.

Моментом сили відносно осі називається проекція на вісь моменту сили відносно будь-якої точки, яка знаходиться на осі.

^(З.11)

З визначення випливає, що момент сили відносно координатних осей визнача­ється за формулами (3.6). З цих формул можна зробити висновок, що момент сили відносно осі не залежить від вибору точки на осі.

При розв'язуванні конкретних за­дач моменти сил відносно осей зручно ви­значати в такій послідовності:

4. Провести (подумки або рисун­ку) через будь-яку точку О на осі z пло­щину ху, перпендикулярну до осі.

Рис. 3.5

5. Спроектувати силу на площину.

6. Визначити момент проекції сили на цю площину відносно точки О.

^(3.12)

Рис. 3.6

Як видно з рис. 3.6, знак моменту визначається за наступ­ним правилом: "Момент сили відносно осі вважається додат­ним, якщо при погляді з додатно­го кінця осі сила намагається обертати тіло відносно осі проти руху стрілки годинника, в ін­шому випадку момент вважа­ється від'ємним".

Якщо момент додатний, то він зображається відрізком, напра­вленим вверх по осі z від точки О, а якщо він від'ємний - то вниз по осі.

З (3.12) видно, що момент сили відносно осі дорівнює нулю в двох випадках:

- лінія дії сили паралельна осі (Fxy = 0);

- лінія дії сили перетинає вісь (h₁ = 0).

Оскільки, момент сили відносно осі не залежить від вибору точки на осі, то надалі замість позначення будемо позначати або М_z (аналогічно для моменту сили відносно осі х і y.

Якщо сила і центр моментів О лежать в координатній пло­щині, наприклад Оху, то і момент сили відносно центра О буде колінеарний осі z, тоді момент повністю визначається своєю проекцією на вісь z.

Тому, при дослідженні системи сил на площині, момент сили відносно точки розглядають як скалярну величину з відповідним зна­ком, шляхом заміни величини його проекцією на вісь z, перпендикулярну площині, в якій ле­жить сила і центр моментів О, вважаючи момент сили відносно точки додатним, якщо сила "обертає" площину, в якій знаходиться, проти ходу стрілки годинника і від'ємним - якщо за стрілкою.

Отже,

^(3.13)

3.4. Залежність між моментами сили відносно точки і від­носно осі, яка проходить через цю точку

Нехай, задані сила , вісь z і точка О, яка лежить на осі z (рис.3.6). Встановимо залежність між моментом сили відносно точ­ки О і моментом сили відносно осі z . Відомо, що

Лінії AA₁ і ВВ₁ паралельні осі z, тому трикутник A₁ОВ₁ є проекцією трикутника АОВ на площину, перпендикулярну до осі z, отже площа трикутника A₁ОВ₁ дорівнює площі трикутника АОВ, по­множеній на косинус кута між площинами трикутників. Відомо, що кути між площинами визначаються як кути між перпендикулярами до площин. Перпендикуляр, до площини трикутника АОВ визначається напрямом , а перпендикуляр до площини трикутника A₁ОВ₁ збігається з віссю z , тобто кут між цими площинами дорівнює γ.

Тоді

Перемноживши обидві частини цієї рівності, отримаємо:

Проекція вектор-моменту сили відносно точки на вісь, яка проходить через цю точку, дорівнює моменту сили відносно цієї осі.

Отже, момент сили відносно осі є скалярною величиною, як і будь-яка проекція вектора на вісь. Якщо сила розташована в площині, перпендикулярній до осі, то її проекція на цю площину дорівнює самій силі, а модуль моменту сили відносно точки О - перетину осі з пло­щиною, дорівнює добутку сили на плече.

і