3.5 Теорія пар сил

Парою сил, прикладеною до твердого тіла, називається сис­тема двох рівних за величиною паралельних між собою сил , які направлені в протилежні боки уздовж незбіжних ліній дії (рис. 3.7).

Площина (N), в якій розміщені сили пари, називається пло­щиною дії пари або площиною пари.

Плечем пари h називається найкоротша відстань між лінія­ми дії пари сил.

З аксіоми 1 випливає, що система сил пари не знаходиться в рівновазі. Пара сил не має рівнодійної.

Рис. 3.7

Дійсно, припустимо протилежне, що пара сил має рівнодійну , тоді система ( ) має бути еквівалентна нулю. Але це неможливо, оскільки лінії дії цих сил не проходять через одну точку, тобто не викону­ється відповідна умова рівноваги відповідно до теореми про три сили.

Дослідним шляхом встановлено, що пара сил, діючих на тверде тіло, намагається надати йому деяке обертання. Для того, щоб визначити, якою фізич­ною величиною можна охарактеризувати "обертальний ефект" пари сил, який діє на тверде тіло, з'ясуємо, чому дорівнює сума моментів сил, що складають пару, відносно будь-якої точки простору.

Нехай точка О - довільна точка простору (рис. 3.8); - сили, які складають пару, що прикладені відповідно в точках А і В; - радіус-вектори.

Рис. 3.8

З векторного трикутника ОАВ видно, що і

Використовуючи визначення мо­менту сили відносно точки, знаходимо шукану суму

Одержана сума не залежить від положення точки О, відносно якої обчислюються моменти сил пари, тобто є "вільним вектором". Позначимо його через . Тоді

(3.14)

Векторна величина, визначена за формулою (3.14), називаєть­ся моментом пари сил.

Оскільки h = ρsinα, тоді модуль моменту пари дорівнює:

^(3.15)

Момент пари, направлений перпендикулярно до площини пари в той бік, звідки "обертання" видно таким, що відбувається проти руху стрілки годинника.

За одиницю виміру моменту пари сил, як і моменту сили, від­носно центра прийнятий Н · м .

Доведемо теореми про пари, які дозволяють стверджувати, що момент пари є повною характеристикою механічної дії пари сил на тверде тіло і дії над парами сил можна замінити еквівалентними ве­кторними операціями над їх. моментами.

Рис. 3.9

Теорема 1.

Не змінюючи дії пари на тверде тіло, її можна переносити і довільно повертати в площині дії, змінюючи величину сили, яка вхо­дить в цю пару і довжину плеча так, щоб момент пари залишався не­змінним.

Нехай задана пара ( ) з плечем ab = h. В площині дії ці­єї пари виберемо довільний відрізок cd = ab. В точках с і d цього відрізка на лініях йому перпендикулярних, прикладемо дві системи сил ( ) і ( ), кожна з яких еквівалентна нулеві. Причому

Продовжимо лінії дії сил і до перетину з лініями дії сил ( ) в точках e, l, j, k. Перенесемо тепер сили і як ковзаючі вектори в точки е та f . Хай - рівнодійна збіжних сил - рівнодійна збіжних сил та .

Зрозуміло, що система сил ( ) еквівалентна нулеві, згідно аксіоми 1 її можна відкинути, не порушуючи стану тіла.

Таким чином, пара ( ) еквівалентна заданій парі ( ). Залишилось показати, що при вказаному переміщенні пари сил можна змінювати величину плеча і сили, яка входить в пару, як оговорено теоремою.

Для цього розглянемо вихідну пару ( ) (рис.3.10). Прикладемо в точках а і b систему сил ( ). еквівалентну нулеві.

Нехай та - рівнодійні збіжних сил відповідно в точках а і b. Тоді система сил буде:

Рис. 3.10

Момент пари сил ( )

дорівнює

Момент пари сил ( ) дорівнює

оскільки, .

Отже, алгебраїчні значення цих моментів однакові, крім цього, з рис 3.10 видно, що напрямки "обертання" пар однакові. Звідси ви­пливає, що моменти пар сил ( ) і ( ) рівні між собою.

Теорема доведена.

Теорема 2.

Рис. 3.11

Дві пари сил, що мають геометрич­на рівні моменти, статично еквівалентні.

Хай на тіло в площині І діє пара сил ( ) з моментом . Покажемо, що цю пару можна замінити іншою парою (  ), розміщеною в площині II, за умові, що її момент , це й буде означати, що пари ( ) і ( ) еквівалентні. Зауважимо, що площини І і II мають бути паралельними, оскільки вони перпендикулярні геометрично рівним векторам і (рис. 3.11).

Введемо нову пару ( ) і прикладемо її разом з парою ( ) до тіла в площині II. Для цього, згідно аксіоми 2, необхідно підібрати пару ( ) з моментом так, щоб прикладена система сил ( ) була врівноважена. Виконаємо наступне - прикладемо і і сумістимо точки прикладання цих сил з проекціями А₁ і В₁ точок А і В на площину II. Згідно побудови бу­демо мати: або, враховуючи, що , , а, отже

Таким чином, пари ( 1 і ( ) взаємно зрівноважені і приєднання їх до тіла не порушить його стану (аксіома 2), звідси

(*)

З іншого боку, сили , а також можна скласти за правилом складання паралельних сил, направлених в одну сторону. За модулем всі ці сили рівні, тому їх рівнодійні та мають бути прикладені в точці перетину діагоналей паралелограма АВВ₁А₁, крім цього вони рівні за модулем і направлені в протилежні сторони, а це означає, що вони складають систему, еквівалентну нулеві.

Отже,

тоді запишемо:

(**)

Порівнюючи (*) та (**), одержимо:

що й потрібно було довести.

З доведених теорем випливає, що момент пари сил, математи­чно визначений у виразі (3.14), є повною характеристикою статичної дії пари сил на тверде тіло. Тому, дії над парами сил можна замінити еквівалентними операціями над їх моментами.

Доведені теореми про пари дозволяють встановити правило складання пар, які лежать як в паралельних площинах, так і в тих, що перетинаються. Дане правило випливає з наступної теореми.

Теорема З

Дві пари сил, які лежать в площинах, що Перетинаються, ек­вівалентні одній парі, момент якої дорівнює векторній сумі моментів обох пар.

Нехай пари ( ) і ( ) розміщені в площинах І та II, які перетинаються між собою. Користуючись теоремою 1, приведемо обидві пари до плеча АВ, розміщеного на лінії перетину площин І та II.

Позначимо трансформовані пари через ( ) і ( ), при цьому повинні виконуватись рівності:

Рис. 3.12

Складемо за аксіомою З сили, прикладені в точках А і В, і отримаємо

Враховуючи, що і , одержимо .

Таким чином ми довели, що система двох пар еквівалентна одній парі ( ).

На основі виразу (3.14) знайдемо момент цієї пари:

Отже,

що й необхідно було довести.

Якщо припустити, що кут α між площинами І і II дорівнює нулю і при цьому врахувати твердження теореми 2, то висновок тео­реми 3 розповсюджується і на випадок складання двох пар сил, що лежать як в одній, так і в паралельних між собою площинах.

Теорема З легко узагальнюється на випадок складання будь-якої кількості пар. Так, якщо задана система декількох пар , (і = 1,2…n), то вона може бути замінена однією парою, еквівалентною заданій системі пар сил, що зветься результуючою парою. Момент цієї ( ) буде дорівнювати векторній сумі моментів складових пар:

^(3.16)

Якщо пари розміщені в одній площині, то рівність (3.16) при­ймає вигляд такої алгебраїчної рівності:

^(3.17)

Тепер легко розв'язати другу задачу статики - виявити умови рівноваги тіла, на яке діє система пар сил. Для того, щоб система пар була еквівалентна нулю, необхідно і достатньо, щоб результуюча пара ( ) була виродженою , або, ще теж саме, щоб момент результую­чої пари був рівним нулю (аксіома 1). Тоді з (3.16) одержимо в вектор­ній формі наступну умову рівноваги

^(3.18)

В проекціях на осі координат рівняння (3.18) дає три скалярні рівняння:

^(3.19)

Якщо всі пари лежать в одній площині, то всі моменти пар пе­рпендикулярні цій площині, тому рівняння (3.18) достатньо спроекту­вати тільки на одну вісь - вісь, перпендикулярну площині пар.

Нехай це буде вісь z (рис. 3.13), тоді з рівняння (3.19) одер­жимо

(3.20)

при цьому зрозуміло, що , коли "обертання" пари видно з додатного напрямку осі проти стрілки годинника, і у випадку протилежного напрямку обертання.

Отже, пара сил, яка діє на тверде тіло, утворює новий само­стійний елемент статики, який поряд з поняттям сили, складає ваясливе поняття механіки. Осно­вні властивості цього елемента статики і основні правила пере­творень, яким підкоряється цей новий елемент, повністю встанов­люються доведеними вище теоре­мами про пари.

Рис. 3.13

Ці властивості і правила перетворень називаються властивостями пар сил:

1. Пару сил можна переносити в площині її дії, включаючи поворот на будь-який кут.

2. Пару сил можна переносити в будь-яку площину, пара­лельну площині дії цієї пари.

3. Можна змінювати сили, які складають пару та її плече, не змінюючи моменту пари.

4. Декілька пар сил, довільно розміщених в просторі, можна замінити однією - результуючою парою.

Зауважимо, що механічна дія в статиці характеризується трьо­ма типами векторів:

- силою - ковзним вектором;

- моментом сили відносно точки - прикладеним вектором;

- парою сил - вільним вектором.

Питання для самоконтролю

1 Що називається моментом сили відносно точки?

2. Як направлений вектор моменту сили відносно точки у просторі?

3. В яких випадках момент сили відносно точки дорівнює нулю?

4. Чи зміниться момент сили відносно точки при переміщенні сили вздовж її лінії дії?

5. Що називається моментом сили відносно осі? Як знайти момент _t сили відносно осі?

6. Яка залежність існує між вектором моменту^сили відносно точки і моментом сили відносно осі. що проходить через дану точку?

7. В яких випадках момент сили відносно осі дорівнює нулю?

8. Що називається парою сил?

9. Чим характеризується дія пари сил на тверде тіло?

10. Якою системою сил можна зрівноважити задану пару сил?

11. Чи має вектор-момент пари сил точку прикладання?

12. Чому дорівнює сума моментів сил. що складають пару, відносно довільної точки?

13. Сформулюйте теореми про пари сил.

14. Чи можуть бути еквівалентними дві пари, що лежать в площинах, які перетинаються?

15. Як у векторній формі записується умова рівноваги пар сил?

16. Яким типом векторів (ковзним, прикладеним або вільним) харак­теризується сила, момент сили відносно точки, момент пари сил?

РОЗДІЛ 4. ДОВІЛЬНА ПРОСТОРОВА СИСТЕМА СИЛ І УМОВИ її РІВНОВАГИ

4.1 Лема про паралельне перенесення сили

Доведемо лему:

Не змінюючи статичного стану твердого тіла, силу прикла­дену до цього тіла, можна перенести у будь-яку його точку, паралель­но самій собі, прикладаючи при цьому пару, момент якої дорівнює мо­менту даної сили відносно нової точки прикладення.

Рис. 4.1

Нехай в точці А прикладена си­ла . Прикладемо тепер в точці В тіла систему двох сил і , еквівалентну нулю, причому (отже ). Тоді сила , оскільки . Але з другого боку система сил (  ) еквівалентна силі і парі сил (  ); отже, сила еквівалента силі прикладеній в точці  В, і парі сил ( ) з моментом, що дорівнює моменту даної сили відносно точки  В. Одержану таким чином пару °ил ( ) називають приєднаною парою сил .

Лема доведена.