4.2. Головний вектор і головний момент довільної системи сил. Основна теорема статики твердого тіла

Нагадаємо, що першою (основною) задачею статики твердого тіла є вияснення умов приведення заданої (довільної) системи сил. що не збігаються, до простішого вигляду. Нижче викладено метод Пуансо зведення незбіжної системи сил до однієї сили і однієї пари сил.

Нехай задана довільна система сил , що діють на тверде тіло.

Головним вектором цієї системи сил називається вектор­на сума всіх сил заданої системи.

^(4.1)

Головним моментом такої системи сил, відносно точки О, (центра зведення) називається векторна сума моментів всіх сил, що входять в систему, відносно того ж центра.

^(4.2)

де r_i - радіус-вектор, проведений з центра О в точку прикладення сили .

Проектуючи ліві і праві частини виразів (4.1) і (4.2) на осі декартової прямокутної системи координат Oxyz , не важко встановити аналітичні вирази для головного вектора і головного моменту

^(4.3)

^(4.4)

де F_OXF_OYF_OZ і М_ОХМ_OYM_OZ - проекції відповідно головного век­тора і головного моменту на осі координат.

Тоді модулі і напрямні косинуси, відповідно, головного векто­ра і головного моменту визначаються виразами

^(4.5)

^(4.6)

Опираючись на лему про паралельне перенесення сили, дове­демо основну теорему статики - теорему Пуансо .

Теорема. Довільну систему сил, що діють на тверде тіло, можна замінити еквівалентною системою, що складається з однієї сили, прикладеної в довільно вибраній точці тіла (центрі зведення), і рівної головному вектору даної системи сил, і однієї пари сил, момент якої дорівнює головному моменту всіх сил відносно вибраного центра зведення.

Рис. 4.2 Рис. 4.3

Доведення. Для доведення теореми розглянемо довільну сис­тему сил (  ) (рис 4.2). Довільну точку О тіла G виберемо за центр зведення. Згідно леми 4.1, перенесемо всі сили в центр зведення О. Внаслідок цього, система сил ( ) стала еквівалентною системі сил ( ) прикладених в точці О (рис 4.3а) і приєднаних пар сил ( ) , ( ),..., (. ) (вони на рис 4.3 не показані), моменти яких (рис.4.3,б) мають вигляд:

де радіуси-вектори, проведені з центра зведення в точки прикла­дення сил . Визначаючи тепер рівнодійну одержаної збіжної системи сил в точці О (рис 4.3,а), а також результуючу пару з момен­том для системи приєднаних пар (рис. 4.3,6), одержимо:

які згідно (4.1) і (4.2) являють собою, відповідно, головний вектор і головний момент заданої системи сил.

Теорема доведена.

З основної теореми статики випливає, що дві системи сил, для яких величини і співпадають, статично еквівалентні. Отже, для задання системи сил, що діють на тверде тіло, достатньо задати її головний вектор і головний момент відносно даного центра при­ведення.

Вияснено тепер, як буде змінюватись головний вектор і голо­вний момент при зміні центра зведення.

Нехай, задана довільна просторова система сил ( ) прикладена до твердого тіла. (рис. 4.4). При зведенні заданої системи сил до центра О, як відомо, одержимо еквівалентну систему, яка хара­ктеризується головним вектором і головним моментом.

Зведемо тепер задану систему до нового центра О_ь Очевидно, головний вектор при цьому не зміниться. Головний момент зміниться, оскільки відносно нового центра зведення момент кожної з сил буде іншим. Знайдемо його зміну.

Рис. 4.4

Нехай r_ij - радіус-вектор точки прикладення сили проведе­ний з точки О₁. Тоді:

З (рис 4.4) видно, що . Підставляючи значення . в попередню формулу , одержимо:

або

(4.7)

Таким чином, при зміні центра зведення головний момент змінюється на величину, що дорівнює моменту головного вектора від­носно нового центра зведення.

Звідси, між іншим, випливає, що при перенесенні центра зве­дення вздовж лінії дії головного вектора головний момент змінюватись не буде. Формула (4.7) дозволяє зробити ще один висновок, важливий для дальшого викладення, а саме: якщо в будь-якому центрі зведення головний вектор і головний момент рівні нулю, то вони будуть рівні нулю в будь-якому центрі зведення.