2.1 Проекція сили на вісь і на площину. Аналітичний спосіб задавання сили

Аналітичний метод розв'язання задач статики побудований на понятті про проекцію сили на вісь.

Проекція сили (як і будь-якого іншого вектора) на вісь • алгебраїчна величина, що дорів­нює добутку модуля сили на ко­синус кута між. силою і додат­ним напрямком осі.

Якщо цей кут гострий - проекція додатна, якщо тупий - від'ємна, а якщо сила перпендикулярна осі - її проекція дорівнює нулю.

Рис. 2.1

Так для сил, зображених на рис. 2.1

Проекцією сили на площину Оху називається вектор , що знаходиться між проекціями початку і кінця сили на цю площину (рис. 2.2).

Таким чином, на відміну від проек­ції сили на вісь, проекція сили на площину - величина векторна, оскільки вона характе­ризується не тільки своїм числовим значен­ням, але й направленням в площині Оху . За модулем , де - кут між напрямком сили і її проекції F_xy.

Рис. 2.2

В деяких випадках, для знаходження проекції сили на вісь, зручніше спочатку знайти її проекцію на площину, в якій ця вісь лежить, а потім знайдену проекцію на площину спроектувати на дану вісь. Наприклад, у випадку, показаному на рис. 2.2, отримаємо

^(2.2)

Аналітичний спосіб задавання сили

Для аналітичного задавання сили необхідно вибрати систему коор­динатних осей Oxyz, за відношенням до якої буде визначатись напрям сили у просторі. В механіці користуються пра­вою системою координат, тобто такою системою, в якій найкоротше суміщен­ня осі Ох з віссю Оу проходить, якщо дивитись з додатного кінця осі Oz, проти ходу стрілки годинника (рис. 2.3).

Вектор, який зображає силу , можна побудувати, якщо відомі модуль F цієї сили і кути α, β, γ, які сила складає з координат­ними осями. Таким чином, величини задають силу . Точ­ка А прикладення сили повинна бути задана окремо її координатами x,y,z.

Рис. 2.3

Для розв'язання задач механіки зручніше задавати силу її про­екціями F_x, F_y, F_z на координатні осі.

Знаючи ці проекції, можна визначити модуль сили і кути, які вона складає з координатними осями, за формулами:

(2.3)

Якщо сила розміщена в одній площині, то її можна задати проекціями на дві осі Ох і Оу . Тоді формули, що визначають силу за її проекціями, приймуть вигляд

^(2.4)

2.2 Зведення збіжних сил до рівнодійної

Система прикладених до твердого тіла сил називається збіж­ною, якщо лінії дії усіх сил перетинаються в одній точці. Точка пере­тину сил називається центром сил.

Нехай задана довільна система збіжних сил ( ), прикладена до твердого тіла. Перенесемо ці сили як ковзні вектори в точку перетину їх ліній дій - точку А (рис. 1.6). Користуючись аксіо­мою паралелограма сил, знайдемо рівнодійну цих сил. З рівняння (1.7) рівнодійна системи збіжних сил дорівнює векторній сумі цих сил:

^(2.5)

Графічно рівнодійна сила визначається як сторона, що замикає силовий многокутник (рис. 1.7).

Визначимо аналітично рівнодійну . Для цього вве­демо прямокутну систему ко­ординат O_xyz з початком в точ­ці О перетину лінії дії заданих сил ( ) (рис. 2.4).

На основі виразу (1.7) та користуючись теоремою (її доведення наведено в курсі векторної алгебри), згідно якої проекція векторної суми на вісь дорівнює алгебраїчній су­мі проекцій на ту ж саму вісь складових векторів, одержимо вирази для проекцій R_x , R_y , R_z рівнодійної у вигляді

(2.6)

де F_ix , F_iy , F_iz - проекції сили на осі координат.

Рис. 2.4

Звідси модуль рівнодійної визначається виразом:

(2.7)

або

,

а напрям рівнодійної - наступними напрямними косинусами (косинуси кутів між напрямом вектора і додатними напрямами відповідних осей координат):

(2.8)

Формули (2.6)-(2.8) дають повне аналітичне визначення рів­нодійної системи збіжних сил.