4.7 Зведення системи сил до двох сил

Доведемо теорему (теорема О.І Сомова).

Довільна система сил, для якої другий статичний інваріант не дорівнює нулю, в загальному випадку може бути зведена до двох ми­мобіжних сил, одна з яких прикладена в центрі зведення.

Як ми вже знаємо, з основної теореми статики випливає, що систему сил, які розміщені в просторі у будь-якому напрямку, можна в даному центрі зведення О звести до головного вектора і головного моменту , при чому, кут між їх напрямками може бути будь-яким. Ми знаємо, що головний момент являє собою момент пари сил. Нехай сили, що складають цю пару, будуть і ( ). Прикладемо одну із сил, що складають пару (наприклад, ) в центрі зведення О (рис. 4.8). Зазначимо, що сили і розміщені в площині N, перпе­ндикулярній вектору головного моменту . Складаючи потім голо­вний вектор з силою (рис. 4.5), одержимо силу яка вже не лежить в площині дії пари ( ). Отже, в загальному ви­падку сили і є перехресні. Теорема доведена.

Рис. 4.8

Таким чином, довільна система сил ( ), що діє на тверде тіло, може бути еквівалентно перетворена до двох мимобіжних сил і , одна з яких ( ) прикладена в центрі зведення, а друга ( ) - в точці А, положення якої встановлюється вибором плеча h згід­но рівності:

4.8. Умови рівноваги довільної просторової системи сил

Нехай задана довільна просторова система сил ( ) , прикладених до твердого тіла.

Доведемо теорему.

Для того, щоб довільна просторова система сил перебувала у рівновазі (була еквівалентна нулю), необхідно і достатньо, щоб голо­вний вектор і головний момент цієї системи відносно довільного центра зведення дорівнювали нулю:

^(4.18)

Доведення.

Необхідність. Нехай, задана системи сил перебуває у рівновазі. Доведемо, що тоді виконується умова (4.18). Дійсно, на основі теореми 4.7 задану систему сил перетворимо в екві­валентну їй систему, що складається з двох сил ( ). Оскільки, ви­хідна система сил перебуває у рівновазі, то повинна перебувати в рів­новазі і система сил ( ). На основі аксіоми про рівновагу двох сил це можливо в тому випадку, коли сили рівні за модулем, протилежно направлені і мають спільну лінію дії. Але, для такої системи сил, головний вектор і головний момент відносно будь-якого центра зведення дорівнюють нулю.

Достатність. Нехай, виконується умова (4.18) заданої системи сил .

Доведемо, що при цьому система сил еквівалентна нулю.

Перетворимо систему сил ( )на основі теореми 4.7 в систему, що складається з двох сил і . Для таких сил умови (4.11) мають вигляд ; . і рівні за модулем і протилежні за напрямом. Виконання другої умови вказує на те, що ці сили мають спільну лінію дії (момент пари сил ( ) дорівнює нулю). Тоді, з аксіоми 1 випливає, що задана система сил ( ) еквівалентна нулю.

Теорема доведена.

Умови (4.18) називаються умовами рівноваги довільної систе­ми сил у векторній формі.

В проекціях на координатній осі умови (4.18) приймають ви­гляд наступних скалярних співвідношень:

^(4.19)

Рівняння (4.19) називаються умовами рівноваги довільної про­сторової системи сил в аналітичній формі.

Таким чином, для рівноваги довільної просторової системи сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми проекцій всіх сил на координатні осі і алгебраїчні суми моментів цих сил відносно коорди­натних осей дорівнювали нулю.

4.9. Умови рівноваги системи сил в окремих випадках

1. Умови рівноваги просторової системи паралельних сил. Не­хай всі сили , що діють на тверде тіло, паралельні між собою (рис. 4.9) Направимо вісь z паралельно лініям дії цих сил. Тоді проекції сил на координатній осі Ох і Оу будуть дорі­внювати нулю. ( ). Отже, перші дві умови рівнянь (4.19) являють собою тотожність. Крім того, тотожністю є і останнє рівняння (4.19), так як сили паралельні осі Oz .

Внаслідок цього з шести рівнянь (4.19) залишаються тільки наступні:

Рис. 4.9

^(4.20)

Отже, для рівноваги прос­торової системи паралельних сил необхідно і достатньо, щоб алгеб­раїчна сума проекцій всіх сил на вісь, паралельну лініям дії заданих сил дорівнювала нулю і алгебраїчні суми моментів цих сил відносно двох інших координатних осей дорі­внювали нулю.

2. Умови рівноваги довільної системи сил на площині.

Нехай система сил ( ), що діє на тверде тіло, розміщена в одній площині Оху (рис. 4.10). Покажемо, що для такої системи сил умови рівноваги можна виразити в трьох видах.

І. В цьому випадку з шести рівнянь (4.19) зостаються тільки такі:

^(4.21)

Рис. 4.10

Інші рівняння являють собою тотожність.

Зауважимо, що в випадку плоскої системи сил, розміщеної, наприклад, у площині Оху , будемо рахувати ідентичним запис вигля­ду

Умови (9.21) формулюються наступним чином. Для рівноваги плоскої системи довільно розміщених сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми проекцій всіх сил на координатні осі, що лежать в площині дії цих сил, дорівнювали нулю і алгебраїчна сума моментів цих сил відносно довільної точки цієї площини дорівнювала нулю.

II. Для рівноваги плоскої системи довільно розміщених сил не­обхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми моментів всіх сил відносно будь-яких трьох точок площини, що не лежать на одній прямій, дорі­внювали нулю.

(4.22)

де А,В,С - довільні, точки, що не лежать на одній прямій і прийма­ються за центри моментів.

Необхідність цих умов очевидна, оскільки при рівновазі сума моментів сил системи відносно будь-якого центра зведення дорі­внює нулю. Доведемо достатність умов (4.22). Дійсно, якби при одночасному виконанні цих умов, дана система сил не перебувала в рівновазі, то вона повинна зводитись до рівнодійної, що одночасно проходить через точки А,В,С. Однак це неможливо, оскільки вказані точки не лежать на одній прямій. Таким чином, при виконанні умов (4.22), має місце рівновага.

III. Для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб дорівнювали нулю алгебраїчні суми моментів всіх сил відносно двох будь-яких точок, що лежать в цій площині, а також алгебраїчна сума проекцій всіх сил на вісь й , що не перпендикулярна до прямої і проходить через дві вибрані точки.

(4.23)

Необхідність цих умов випливає з того, що при рівновазі плоскої системи сил, алгебраїчна сума моментів всіх сил, відносно будь-якого центра зведення і алгебраїчна сума проекцій всіх сил на будь-який напрямок дорівнюють нулю.

Доведемо достатність, умов (4.23). Міркуючи, як і в по­передньому випадку, приходимо до висновку, що коли виконується тільки дві перші умови, то система повинна або перебувати в рівновазі, або зводитись до рівнодійної, що проходить одночасно через точки А і В, тобто направленої вздовж прямої АВ. Але за третьою умовою , де вісь Ои не перпендикулярна до прямої АВ. і ця умова може бути виконана тільки тоді, коли рівнодійна дорівнює нулю, тобто коли має місце рівновага.

3. Умови рівноваги плоскої системи паралельних сил.

Нехай вісь Оу паралельна силам системи (рис. 4.11). Тоді з умов (4.21)

Рис. 4.11

маємо (4.24). У відповідності з (4.23) рівняння рівноваги розглядуваної системи сил можна записати також у вигляді:

^(4.25)

4. Умови рівноваги системи пар сил.

Якщо на тверде тіло діє система пар сил , то з умов (4.18) і властивостей пар сил одержуємо умови рівноваги у векторній формі:

^(4.26)

В проекціях на осі координат це рівняння дає три скалярні рі­вняння.

Умова рівноваги (4.26) спрощується, якщо всі пари сип ле­жать в одній площині. В цьому випадку всі моменти перпендикулярні до цієї площини, а тому (4.26) достатньо спроектувати тільки на вісь перпендикулярну площині дії пари сил. Одержимо

(4.27)

Таблиця 4.1 - Умови рівноваги різних систем сил, що діють на тверде тіло

Характер системи сил	Форма умов рівноваги
	векторна	скалярна
Довільна просторова система сил

Продовження таблиці 4.1

Характер системи сил	Форма умов рівноваги
	векторна	скалярна
Просторова система паралельних сил		Сили паралельні осі Oz
Просторова система збіжних сил
Система пар сил, довільно розміщених у просторі
Плоска система паралельних сил		Сили лежать в площині Oxy і паралельні осі Oy. І. Форма ІІ. Форма (при умові, що пряма АВ не || осі Оу)

Продовження таблиці 4.1

Характер системи сил	Форма умов рівноваги
	векторна	скалярна
Довільна плоска система сил		Сили лежать в площині Оху І. Форма ІІ. Форма (за умови, що точки А, В, С не лежать на одній прямій). ІІІ. Форма (за умови, що вісь Ои не перпендикулярна АВ)
Плоска система збіжних сил
Система пар сил, що лежать в одній площині

В таблиці 4.1 зведені умови рівноваги різних систем сил, які діють на тверде тіло.