2.3. Умови рівноваги системи збіжних сил

Доведемо теорему: "Для рівноваги системи збіжних сил необ­хідно і достатньо, щобрівнодійна сила дорівнювала нулеві", тобто

(2.9)

Необхідність умови (2.9) випливає з того, що система збіжних сил, прикладених до твердого тіла, еквівалентна одній силі - рівнодійній . Вочевидь, що під дією однієї сили тіло буде перебувати в рів­новазі тільки тоді, коли ця сила дорівнює нулеві.

Для доведення достатності покажемо, що коли рівнодійна сила дорівнює нулю, то система збіжних сил знаходиться у рівновазі. Задана система сил еквівалентна рівнодійній, яка дорівнює нулю.

Отже, дана система сил є врівноваженою (еквівалентною ну­лю) і вона залишає те тіло, на яке вона діє, в рівновазі.

Теорема доведена.

Враховуючи умову , приходимо до висновку, що многокутник сил є замкнутим. Останнє виражає в графічній формі умову рівноваги системи збіжних сил.

На основі виразу (2.9), враховуючи (2.6) і (2.7), одержуємо:

. (2.10)

Ці умови називаються аналітичними умовами рівноваги збіжних сил і формулюються наступним чином: для рівноваги прос­торової збіжної системи сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми проекцій сил на три взаємно перпендикулярні осі дорівнювали нулю.

У випадку рівноваги системи збіжних сил, розміщених в одній площині, наприклад О_xy, маємо

(2.11)

Отже, для рівноваги системи збіжних сил, які лежать в пло­щині, необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми проекцій цих сил на дві взаємно перпендикулярні осі дорівнювали нулю.

Питання для самоконтролю

1. Яка система сил називається збіжною?

2. Що називається силовим многокутником?

3. В чому полягає графічний метод визначення рівнодійної сили?

4. Яка графічна умова рівноваги збіжної системи сил?

5. Які рівняння рівноваги просторової і плоскої системи збіжних сил?

Задача 2.1.

Однорідний циліндр, вага якого Р, розміщений між двома гладкими похилими площинами, які складають з горизонтом кути α і β (рис. 2.5).

Знайти тиск циліндра на обидві площини.

Розв 'язання

1.Розглянемо рівновагу циліндра.

2.Покажемо активну силу Р -- вагу циліндра.

3.Звільнимо циліндр від в'язей. В'я­зями в даному випадку є дві похилі площини і реакції і . направлені перпендикуляр­но до площин, тобто до осі циліндра (рис. 2.5).

4.Вибираємо систему координат, як показано на рис. 2.5.

5.На циліндр діє плоска система збіжних сил. Складемо для неї рівняння рів­новаги:

Рис. 2.5

6.Розв'язуючи одержані рівняння, знаходимо

Шукані тиски будуть рівні (згідно аксіоми 4) за величиною і проти­лежні за напрямом реакцій і ^.

Задача 2.2.

Балка А В підтримується в горизонтальному положенні стержнем CD. Закріплення в точках А, С, D - шарнірні.

Визначити реакції шарніра А і стрижня CD. якщо на кінці балки діє вертикальна сила F = 5 кН. Розміри вказані на рис. 2.6. Вагою балки нехтуємо.

Розв'язання:

1.Розглядаємо рівновагу балки А В.

2.Показуємо активну силу

Рис. 2.6

3.Звільняємо балку від в'язей. В'язями є шарнір А і стержень DC. Дію в'язей замінюємо реакція­ми. Реакція стержня DC направлена вздовж стержня. Напрям реакції шарніра А знаходимо, виходячи з умови, що лінії дії сили . реакції шарніра А і стержня DC перетинаються в одній точці (теорема про три сили) (рис. 2.7).

4.Вибираємо осі координат як вказано на рис.2.7.

Рис. 2.7

5. На балку діє плоска система збіжних сил. Складемо рівняння рівноваги:

Звідси:

Оскільки

то R_A = 7,9 кН, а R_c =10,6 кН.

Задача 2.3.

Знайти зусилля в тросі AD і в стрижнях АВ та АС, які підтримують вантаж Q , вагою 300 Н.

Дано: ; ; ; ВК = СК (рис. 2.8).

Розв'язання

1.Розглянемо рівновагу вузла А. Згідно принципу звільнення твердих тіл від в'язей. дію стрижнів і троса на вузол А замінюємо реакціями . Таким чином, одержуємо просторову систему збіжних сил (рис. 2.9).

Рис. 2.8 Рис. 2.9

2.Складаємо рівняння рівноваги:

Звідки

РОЗДІЛ 3. МОМЕНТИ СИЛИ ВІДНОСНО ТОЧКИ І ОСІ. ПАРА СИЛ.

3.1. Момент сили відносно точки

Моментом сили відносно точки О (центра) називається вектор, що дорівнює векторному добутку радіуса-вектора , проведе­ного з центра О в точку А прикладення сили на вектор сили (рис. 3.1).

(3.1)

Модуль моменту сили

(3.2)

Рис. 3.1

Опустимо перпендикуляр з точки О на лінію дії сили . Довжину цього перпендикуляра h назвемо плечем сили відносно центра О. Тоді вираз (3.2) записується у вигляді:

(3.3)

Таким чином, момент сили відносно центра О чисельно до­рівнює добутку сили на плече і направлений перпендикулярно площині, що проходить через точку О і лінію дії сили, в той бік, звідки "обер­тання" тіла під дією сили відносно точки О (або найкоротший пово­рот вектора до суміщення з вектором ) було б видно проти руху стрілки годинника (рис. 3.2).

Рис. 3.2

З рівняння (3.1) можна знайти проекції вектора на осі декартової прямокутної системи координат, початок якої збігається з центром момента О. 3 векторної алгебри відомо, що векторний добу­ток можна представити визначником

^(3.4)

де - орти вибраної системи координат;

х, у, z - проекції вектора на координатні осі;

F_x , F_y , F_z - проекції вектора сили на осі координат.

Розкриваючи цей визначник за елементами першого рядка і, розкладаючи вектор на складові , , , одержимо

^(3.5)

Зрівнюючи ліву та праву частини цієї рівності, знаходимо проекції моменту на осі координат:

^(3.6)

Проекції , , моменту сили на осі координат називаються також моментами сили відно­сно координатних осей.

Формули (3.6) є аналітичними виразами проекцій на коорди­натні осі моменту сили відносно центра О.

Знаючи вирази (3.6), модуль і напрям моменту сили відносно центра визначаємо наступним чином:

^(3.7)

З визначення моменту сили відносно точки випливає:

1. Якщо переміщувати точку прикладання сили вздовж лінії дії сили, то момент сили відносно точки не зміниться.

2. Момент сили відносно точки дорівнює нулю, якщо лінія дії сили проходить через цю точку (h = 0).

3. Момент сили відносно точки чисельно дорівнює подвійній площі трикутника ОАВ (рис. 3.1), тобто .

4. Момент сили відносно точки є зв'язаним вектором, оскіль­ки не дорівнює (площа трикутника ОАВ не дорів­нює площі трикутника О₁АВ) (рис. 3.3).

Рис. 3.3

3.2. Теорема про момент рівнодійної системи збіжних сил (теорема Варіньона)

Доведемо теорему: "Момент рівнодійної системи збіжних сил відносно довільного центра дорівнює векторній (геометричній) сумі моментів складових сил відносно того ж самого центра".

^(3.8)

Доведення:

Рис. 3.4

Нехай в точці А знаходяться лінії дії системи збіжних сил (  ).

Позначимо - радіус-вектор точ­ки А відносно довільного центра О.

Рівнодійна заданої системи сил дорівнює

Тоді з визначення моменту сили відносно точки О маємо:

^(3.9)

що й потрібно було довести.

Слід зазначити, що ця теорема узагальнюється на випадок будь-якої системи, що зводиться до рівнодійної. Якщо сили і точка О розміщені в одній площині, то їх моменти перпендикулярні до цієї площини і лежать на одній прямій. Тому момент рівнодійної такої сис­теми сил дорівнює алгебраїчній сумі моментів складових сил відносно цієї точки.

^(3.10)